数学についての質問です。

質問

添付した画像中の3行目から4行目への式変形についての質問です。
F(x,y)にはΣが含まれているのに、F(x,y)を代入したあとの式では消えているのでしょうか？下の方の式でG(x,y)を代入したところでも同様にΣが消えています。

もしよろしければ、F(x,y)にsin(mπx/a)・sin(nπy/a)をかけて、xとyでそれぞれ0→aまで積分することでDmが導き出せる原理も教えてください。

http://www.fastpic.jp/images.php?file=5751812154.jpg

回答No.2

sunflower-san · ベストアンサー

以下では∫は0からaまでの定積分を表すものとします。

ご質問の式変形が出来る理由は、m≠n のとき、

∫sin(mπx/a)sin(nπx/a) dx = 0

が成り立つ、ということの帰結です。

この問題では二重のフーリエ級数ですが、仕組みは一重の場合と全く同じなので、一重の場合に説明します。

Σを n が1から∞までの和として、
F(x) = Σ(D_n) sin(nπx/a)

で定義されるF(x)を考えましょう。

このとき、∫F(x) sin(mπx/a) dx がどうなるか計算してみます。

∫F(x) sin(mπx/a) dx
=∫Σ(D_n) sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx
=Σ(D_n)∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx

ここまではOKですか？

さて、各項に現れた∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx
は、n≠mのときは0であったので、 n が1から∞までの和のうち、残るのはn=mの項だけになります。

これが、

Σ(D_n)∫sin(nπx/a) sin(mπx/a) dx
=(D_m)∫sin(mπx/a) sin(mπx/a) dx

となる成り立つ理由です。

二重の場合も、

∫∫sin(jπx/a)sin(kπy/a) sin(mπx/a)sin(nπy/a) dx dy
=(∫sin(jπx/a)sin(mπx/a) dx)・(∫sin(kπy/a)sin(nπy/a) dy)

が j=m かつ k=n の場合以外0になってしまうため、D_(m,n) 以外の項が消えてしまう、というわけです。

ちなみに、この事実は、
「sin(mπx/a) , m=1,2,3,..が、内積<f, g>=∫f(x)g(x) dx (0からaまでの積分)に関して、直交関数系をなす」
と表現されます。
一般に直交関数系{f_n}が与えられ、それらで展開された(それらの係数付きの和で表された)関数F=Σc_n f_n について、
内積 n≠mなら<f_n, f_m>=0 という性質から

<F, f_m>
=<Σc_n f_n, f_m>
=Σc_n < f_n, f_m>
=c_m < f_m, f_m>

というふうに各f_mの成分を取り出すことが出来ます。

お礼

理解できました。
どうもありがとうございます。

回答No.4

alice_44

あ、被った。失礼。
A No.3 は、A No.2 と同じなので、無視してください。

回答No.3

alice_44

読めたので、回答してみます。
２行目が、F(x,y) の定義ですね？

３行目ヘ F(x,y) の定義を代入します。
m,n が被っているので、Σ のほうは i,j に換えて、
∫[y=0→a] ∫[x=0→a] F(x,y) sin(mπx/a) sin(nπy/a) dx dy
= ∫[y=0→a] ∫[x=0→a] {Σ[i,j] D(i,j) sin(iπx/a) sin(jπy/a)} sin(mπx/a) sin(nπy/a) dx dy
= Σ[i,j] D(i,j) {∫[x=0→a] sin(iπx/a) sin(mπx/a) dx}{∫[y=0→a] sin(jπy/a) sin(nπy/a) dy}
= D(m,n) {∫[x=0→a] sin(mπx/a) sin(mπx/a) dx}{∫[y=0→a] sin(nπy/a) sin(nπy/a) dy}　　←[*]
となるのです。

i≠m なら ∫[x=0→a] sin(iπx/a) sin(mπx/a) dx = 0、
j≠n なら ∫[y=0→a] sin(jπy/a) sin(nπy/a) dy = 0 であるために、
Σ[i,j] の項が i=m, j=n の一個しか残らない　ということです。
(計算してみてください。)
(ノートの式変形は、４行目の書き方が奇妙で、この変形を見え難くしていますね。
４行目は、５行目と同様に積分を分離して、上記 [*] のほうが見易いと思います。)

結果的に、
∫[y=0→a] ∫[x=0→a] F(x,y) sin(mπx/a) sin(nπy/a) dx dy
が D(m,n) を含んだ簡単な式で表せたので、逆算すれば、
D(m,n) がこの積分を使って表せたことになります。

「原理」としては、関数空間はベクトル空間であって、
∫[x=0→a] f(x) g(x) dx を f, g の内積と見たときに
{ sin(mπx/a) } が直交系になっている　ということでしょうかね。

お礼

理解できました。
ありがとうございます。

回答No.1

oignies

うすくてまったくよみとれません