２問質問します

質問

（１）実数ｘ、ｙがｘ＾２＋ｙ＾２－８ｘ－６ｙ＋９＝０を満たす時。４ｘ＋３ｙの取りうる値の範囲を求めよ。
ｘ＾２＋ｙ＾２＋－８ｘ－６ｙ＋９＝０を変形してこの式は中心(４，３)、半径４の円だというのは分かりました。ココから先を教えて下さい。それとも私が求めたような事は必要ないのでしょうか？

(２)ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＝０(ｘは０°以上３６０°未満)を解け。
一応ｓｉｎ２ｘ＋(１－２ｓｉｎ＾２ｘ)－ｓｉｎｘ－
ｃｏｓｘ＝０と変形してみたのですが、ココからが分かりません。ｃｏｓｘはｓｉｎを用いて表すことが出来るのでしょうか？

簡単な事を聞いているかもしれませんが、教えて下さい。

回答No.4

eatern27

(2)
#2さんは、
＞=2c(s+c) -1 - (s+c)
＞=(s+c)(2c-1-1)
となっていますが、
2c(s+c)-1-(s+c)=(s+c)(2c-1)-1
となります。

解き方は#3さんので解けます。(他にいい解き方があるかもしれませんが)
答えは、x=0,π/6,5π/6,3π/2
だと思います。

回答No.3

nubou

（１）
ｆ（ｘ，ｙ）＝４・ｘ＋３・ｙ
ｇ（ｘ，ｙ）＝ｘ＾２＋ｙ＾２－８・ｘ－６・ｙ＋９
Ｆ（ｘ，ｙ，λ）＝ｆ（ｘ，ｙ）－λ・ｇ（ｘ，ｙ）
とし
∂Ｆ（ｘ，ｙ，λ）／∂ｘ＝０
∂Ｆ（ｘ，ｙ，λ）／∂ｙ＝０
∂Ｆ（ｘ，ｙ，λ）／∂λ＝０
を得
ラグランジュによりこの中に必ず最大値点と最小値点が含まれているから２つしか無ければ検査するまでもなくその２点がそれら

（２）
ｓｉｎ（θ）＋ｃｏｓ（θ）＝
√（２）・ｓｉｎ（θ＋π／４）
を２回使う
次に
ｓｉｎ－ｓｉｎ＝２・ｓｉｎ・ｃｏｓ
の関係を使う

回答No.2

springside

（２）です。
表記を簡単にするため、sinx = s、cosx = cと置きます。
sin2x=2sc
cos2x=2c^2-1
なので、
与式=2sc + 2c^2-1 - (s+c)
=2c(s+c) -1 - (s+c)
=(s+c)(2c -1 -1)
=2(s+c)(c-1)
よって、s+c=0又はc-1=0となりますから、これを解けばいいです。
１．s+c=0のとき
三角関数の合成公式より、
s+c=√2sin(x+45°)で、これが0なので、x+45°=180°,360°
よって、x=135°,315°
２．c-1=0のとき
c=1より、x=0°

以上より、x=0°,135°,315°

回答No.1

springside

（１）です。

［単純に計算で解く場合］
4x+3y=kとでも置きます。すると、y=(-4/3)x+k/3となるので、これをx^2+y^2-8x-6y+9=0に代入すると、xの２次方程式になりますね。これが実数解を持てばよいので、判別式≧0という式が出ます。ここで判別式はkの式なので、この不等式を解けばkの範囲、つまり4x+3yの範囲が出てきます。

［図形的に解く場合］
4x+3y=kとでも置きます。すると、y=(-4/3)x+k/3となり、これは直線を表しています。この直線と円x^2+y^2-8x-6y+9=0が共有点を持つようなkの範囲を求めればいいです。これには２つ解き方があります。
解き方１：「円の中心とその直線の距離」≦「円の半径」という不等式（kの不等式です）を解く。
解き方２：k/3は直線のy切片で、kの変化に伴ってその直線は上下する。つまり、直線と円が共有点を持つようなkの範囲は、直線と円が「上で接する場合」と「下で接する場合」の間です。「直線と円が接する」というのは、「直線と円の式を連立方程式と見た場合に重解を持つ」ということだから、その重解を持つ場合ようなkの範囲内が、求めたい範囲