微分方程式の問題です。

質問

(x-1)dy/dx=x(y^(2)+1)お願いします。

回答No.2

alice_44

式中の (2) の意味が、いまいち不明だけど…

普通に y の 2 階導関数だとすれば、与式は
dy/dx を未知関数とする一階線型微分方程式
だから、型の如く解けば済む。

まず、斉次化方程式 (x-1)p=xp' を変数分離で解く。
1-1/x=p'/p を積分して、x-(log x)=(log p)
すなわち p=C(exp x)/x　(C は定数)。

定数変化法を使って y'=pw で置換すると、
原式は x(pw'+1)=0 となるから、
w=∫(-1/p)dx=(1/C)｛(x(exp -x)-∫(exp -x)dx｝
=(1/C)(x+1)(exp -x)+B　(B は定数) と解ける。

結局、y'=pw=(x+1)/x+BC(exp x)/x より、積分して、
y=x+(log x)+β∫｛(exp x)/x｝dx+α　(α,β は定数)。
最後の右辺に現れた積分は、「指数積分」といって、
初等関数では表示できない。

万が一、式中の (2) が 2 乗の意味であれば、
変数分離型方程式だから、y'/(yy+1)=x/(x-1) を
両辺積分するだけ。

回答No.1

Tacosan

何が分からんの?