2次関数

質問

1.　y=ｘ²-2ax+2ａ² (0≦x≦2) について
(1)最小値を求めなさい
(2)最小値が20であるとき、定数aの値を求めなさい。

2.　ｆ（ｘ）＝2x²-4ax+a+a²　　 (0≦x≦3) の最小値が0であるとき定数aの値を求めなさい

です。解き方がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

設問1
(1)
y = x^2 - 2ax + 2a^2
= (x - a)^2 - a^2 + 2a^2
= (x - a)^2 + a^2
と平方完成する。頂点の座標は、(a, a^2)である。
xの変域が0 ≦ x ≦ 2であることを考慮すると、
i)a < 0のとき
x = 0のときに最小値2a^2をとる。
ii)0 ≦ a ≦ 2のとき
x = aのときに最小値a^2をとる。
iii)2 < aのとき
x = 2のときに最小値2a^2 - 4a + 4をとる。

(2)
小問(1)のi)～iii)の各々について考える。
i)2a^2 = 20
a^2 = 10, a < 0より、a = -√10
ii)a^2 = 20
a = ±2√5
このaは0 ≦ a ≦ 2を満たさないので、解ではない。
iii)2a^2 - 4a + 4 = 20
a^2 - 2a - 8 = 0
(a + 2)(a - 4) = 0
2 < aより、a = 4
∴a = -√10, 4

設問2
f(x) = 2x^2 - 4ax + a + a^2
= 2(x^2 - 2ax) + a + a^2
= 2(x - a)^2 - 2a^2 + a + a^2
= 2(x - a)^2 + a - a^2
と平方完成する。頂点の座標は(a, a - a^2)である。
xの変域が0 ≦ x ≦ 3であることを考慮すると、
i)a < 0のとき
x = 0のときに最小値a + a^2をとる。
これが0となるので、a + a^2 = 0
a(a + 1) = 0
a = 0, -1
a < 0より、a = -1
ii)0 ≦ a ≦ 3のとき
x = aのときに最小値a - a^2をとる。
これが0となるので、a - a^2 = 0
a(1 - a) = 0
a = 0, 1
0 ≦ a ≦ 3を満たすので、解としてよい。
iii)3 < aのとき
x = 3のときに最小値a^2 - 11a + 18をとる。
これが0となるので、a^2 - 11a + 18 = 0
(a - 2)(a - 9) = 0
3 < aより、a = 9
∴a = -1, 0, 1, 9

お礼

いつも、ありがとうございます。
数学が、難しくなってきて、日々、格闘してます。これからも、よろしくお願いします。