３次関数

質問

xの3次関数y=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c(a,b,cは定数)は、x=1で最小値０をとり、そのグラフは点(0,1)を通る。
このときaの値を求める問題で

y'=3(x＾2)＋2ax＋b
よりどのように考えるのでしょうか？

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

＞問題は
＞xの3次関数y=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c(a,b,cは定数)は、x=1で最小値０をとり、そのグラフは点(0,1)を通る。
＞このときaの値は□である。
＞□に答えを入れる問題です。

　この記述の中の「最小値」は「極小値」のことですね。
　質問者さんが理解されていればいいですが、念のため説明しますと、最小値は決められたｘの範囲（定義域といいます）でとるｙの最も小さい値のこと－無限大を除いたものです。ｘは－∞から＋∞の範囲ですから、ｘ＝－∞でｙ＝－∞で、結局、最小値はないということになります。
　一方、極小値は、周囲の中で最も小さくなる場所でのｙの値、ということになります。＃４さんが書いてくださったグラフでｘ＝１のとき、ここだけ周囲より最も小さくなっていることが読み取れると思いますが、ここが極小値になります。

　さて、問題の解法ですが、与えられた3次関数をf(x)とおきますと、次のようになります。

(1)　「グラフは点(0,1)を通る」
　⇒　f(0)＝１
　∴f(0)＝c＝１　　　　・・・・・・・（A)

(2)　「x=1で極小値０をとる」
　⇒　f'(1)＝0　かつ　f(1)＝0　　・・・・（B)
　式（A)より、
　　f(x)＝x^3+ax^2+bx+1
となる。また、
　　f'(x)＝3x^2+2ax+b
だから、条件（B)から次の条件が求められる。
　∴f'(1)＝3+2a+b＝0　⇒　2a+b＝-3　・・・・・・・・・（B)
　　f(1)＝1+a+b+1＝0　⇒　a+b＝-2　・・・・・・・・・（C)

　式（B)－(C)と連立してbを消去して、
　　a＝-1　　　　　　　　　　　　　←　□の値！！
をえる。このとき、式（C)から
　　b＝-1
となります。

お礼

どうもありがとうございました。
いつも教えていただいて感謝しています。
ありがとうございます。

回答No.7

info22

#3,#5です。
(3)の条件を忘れていました。これを付け加えるとaの値が出てきます。
A#3,A#5を補足訂正します。

●点(0,1)を通る→(y){x=0}=c=1…(1)
●x=1で極小値0をとる（傾斜=0）→(y'){x=1}=3+2a+b=0…(2)
●極小値0→(y){x=1}=1+a+b+c=0…(3)
(1)を(3)に代入
a+b=-2
b=-2-a…(4)
(4)を(2)に代入
3+2a-2-a=0
a=-1
が出てきます。A#3の補足の□の答は「-1」ですね。

なお、解答はこれでいいですがきちんと最後までやって理解しておきましょう。(4)からb=-1
y=(x＾3)-(x＾2)-1x＋1=(x+1)(x-1)^2
グラフを書いて理解して問題の条件を理解して置いてください。

お礼

ありがとうございます。
図を描いて考えていきたと思います

回答No.5

info22

＞答えは-1だそうです。
問題の条件からだけでは他の回答者がおっしゃっているとおり
「a=-1」を導くことは不可能です。3定数を2つの式からだけでは出てきません。
＞(y'){x=1} =2a＋b=3=0
＞(y){x=1} =a＋b＋c＋1=0と考えるそうです。
下の式は
＞そのグラフは点(0,1)を通る。
の条件を満たす式ではありません。
(y){x=0} =c=0
となるはずです。
後者の式は点(1,0)を通る式です。問題と違いますね。

また最小値を持ちませんので問題が間違っています。３時間数はxの領域を有限範囲に限定して考える場合を除き、有限な値の最大値も最小値も存在しません。
極大値、極小値は存在する場合と存在しない場合があります。
３次関数では最小値が存在しません。正の大きなxに対しては＋∞になり、負の絶対値が大きなxに対して－∞になるからです。

問題は参考書のものでなく先生が出されたものなら、その先生はミスだらけですね。問題もいい加減、回答のヒントもいい加減で間違いだらけです。
いい加減な問題を数多く解くより、ちゃんとしたまともな問題集や参考書の問題をよく考えて正しく解き明かすことがあなたの数学力をつけることになると思います。すぐ他人に聞くのでなくじっくり自分で考える習慣をつけて、それから分からない所を聞いたり、解答のチェックを質問で求めるようにすれば実力が付いてくるでしょう。

回答No.4

kkkk2222

＞＞Ｆ（Ｘ）＝(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c、
＞＞そのグラフは点(0,1)を通る。
Ｆ（０）＝１
　０＋０＋０＋Ｃ＝１
Ｆ（Ｘ）＝(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋１、

ーーー
＞＞x=1で（極小値）０をとり、

此れは二つの事を言っています。
（１）　Ｆ（１）＝０
（２）　Ｆ’（１）＝０・・・極値をとるのでゼロです。
（導関数）＝０　→　極値　ＯＫですか？（いつも、こうとは限りませんが。）

（１）　Ｆ（１）＝０
Ｆ（Ｘ）＝(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋１、
Ｆ（１）＝１＋Ａ＋Ｂ＋１＝０
　　　　　　　　Ａ＋Ｂ＋２＝０　（＃１）

（２）　Ｆ’（１）＝０
Ｆ（Ｘ）＝(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋１、
＞＞Ｆ’（Ｘ）＝3(x＾2)＋2ax＋b
Ｆ’（１）＝３＋２Ａ＋Ｂ＝０　　（＃２）

（＃１）（＃２）の連立方程式を解きます。
２Ａ＋Ｂ＋３＝０　
　Ａ＋Ｂ＋２＝０
よって、＜Ａ＝－１＞・・・解答としては終了ですが、続けます。
＜Ｂ＝－１＞、
ーーーー
Ｆ（Ｘ）＝(x＾3)ー(x＾2)ーx＋１、
　　　　＝(x＾2)（Ｘ－１）－（Ｘ－１）
　　　　＝［(x＾2)ー１］（Ｘ－１）
　　　　＝［（Ｘ－１）＾２］（Ｘ＋１）

Ｆ’（Ｘ）＝3(x＾2)ー２x＋１
　　　　　＝（Ｘ－１）（３Ｘ＋１）・・・Ｘ＝（－１／３）の時も極値をとります。　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　／
　　　　　　　／　＼　　　　　／
　　　　　／　　　　　＼　／
ーー（－１）ーーーー（＋１）ーーーーーーー
　　／　　（－１／３）
／
此の様になる事を確認して下さい。
＜重解の意味も含めて。＞
ーーー

回答No.3

info22

＞点(0,1)を通る
y=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c
に代入して　c=1
あなたは連続して沢山質問されていますが、質問の問題が正確でなく回答者泣かせです。

もう少し慎重に問題を正しく書いて質問して頂けませんか？
試験のときに解答の文章が間違っていると減点されて損をしますよ。
今回の質問の問題も不完全で条件が足りず、aの値が求まりません。

＞x=1で最小値０をとり
3次関数は最小値は存在しません。極小値の間違いですね。
極小値ならx=1でy'=0になります。
＞y'=3(x＾2)＋2ax＋b
0=3+2a+b
このとき
a=-(b+3)/2
y'=(x-1)(3x-b)
x=b/3(＜1)で極大値をとる。

わかることは
c=1,b＜3,a=-(b+3)/2＞-3
y=(x＾3)-a(x＾2)＋bx＋1
までです。
後、条件が１つあればaが確定できる可能性が出てきます。
極小値が分かっているとか…。

なお、下記の質問
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3094551.html
がすでに締め切られて書けませんでしたのでこの場を借りて回答を細くしておきます。
＞面積OPAの面積
＞S1=π/6まで理解できました。
これは正しくなくS1=π/(√6)が正しいです。
なお、a=(√2)/3となります。

補足

ご迷惑をおかけしてごめんなさい。
問題は
xの3次関数y=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c(a,b,cは定数)は、x=1で最小値０をとり、そのグラフは点(0,1)を通る。
このときaの値は□である。
□に答えを入れる問題です。

回答No.2

sanori

あるｘで極小値や極大値をとるとき、その瞬間グラフの傾きが真横になるので、
ｆ’（ｘ）＝ｙ’＝０になります。

ｘ＝１においてｙ’＝０なので
３＋２ａ＋ｂ＝０
です。
（ほんとうは、最大値か最小値かを検証するためｙ’’の正負の判定も必要ですが）

補足

答えは-1だそうです。
(y'){x=1} =2a＋b=3=0
(y){x=1} =a＋b＋c＋1=0と考えるそうです。

回答No.1

noname#47050

最小値というのは誤りだと思います。正しくは極小値です。なぜなら３次関数yはｘ→-∞で最小（-∞）になるからです。x=1で最小にはなりません。x=1で極小値になるのだから微分であるy'はx=1で０になります。