ラグランジェ方程式

質問

ラグランジェ方程式の中で
dL/dv - dL/dpとなっており，
L=1/2mv^2+mgx
dL/dv=mv
というふうな流れになっています．
dLをdvで偏微分すると上記の式になるのですが，この偏微分をするということの流れがいまいち理解できていません．
基本的なことですが，教えていただければと思います．

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。そんなに慌てずに。・・・たいした計算じゃないですから(^^)。

　面倒なので、一次元運動の　L=1/2mv^2+mgx＝L(v，x)　だとします。

　∂L/∂vの意味は、本当は　L=1/2mv(t)^2+mgx(t)＝L(v(t)，x(t))　なんだけど、「とりあえずtの事は忘れて」、L(v，x)をvとxの2変数関数とみなして、vで偏微分しなさいという意味です。

　vで偏微分するんだから∂L/∂vにおいて、mgxは「定数」です。従って、

　　∂L/∂v＝(∂/∂v)(1/2mv^2+mgx)＝mv

です。tを考慮するのは、(d/dt)においてです。この時は、

　　(d/dt)(∂L/∂v)＝(d/dt)(mv)＝(d/dt)(mv(t))＝mv’

です。∂L/∂xについても同様なので、

　　(d/dt)(∂L/∂v)＝mv’

　　∂L/∂x＝mg

となり、d/dt)(∂L/∂v)－∂L/∂x＝0　は、mv’－mg＝0となって、運動方程式、

　　mv’＝mg

が得られます(^^)。

　簡単ですよね？。そんなに（不要に）悩まないで下さいね(^^)。

回答No.1

noname#221368

dL/dv - dL/dp　は記述ミスかな？、と思いました。(d/dt)(∂L/∂v)－∂L/∂x＝0　でいいですか？。

　で、最小作用の原理はご存知ですか？。

　ラグラジアンＬの代表的なケースでは、Ｌ＝Ｌ(v，x)ですよね。vとxはもちろん時間の関数v(t)とx(t)ではありますが。最小作用原理とは、

　　運動方程式を満たすx(t)　⇔　∫Ｌ(v，x)dt　を最小にするx(t)　　　(1)

というものです。積分∫Ｌ(v，x)dtは、作用積分と言われます。積分区間は考えている運動の全時間経過t1～t2です。ここでt1は運動の開始時刻（または観測開始時刻）、t2は運動の終了時刻（または観測終了時刻）を表しています。

　x(t)が運動方程式を満たせば、そのようなx(t)は積分∫Ｌ(v，x)dt　の値を最小にする、が、(1)の左辺から右辺への意味です。でも何に対して最小さ？、ってなりますよね？(^^；)。

　実際には問題を解いてみなければ具体的な値はわかりませんが、x(t)が運動方程式を満たすなら、そのx(t1)とx(t2)の値は、絶対あるはずです。

　そこで運動の始終端の時刻t1とt2におけるx(t)の位置、x(t1)とx(t2)を必ず通過する任意のx(t)に対して、∫Ｌ(v，x)dt　の値を計算してみると、x(t)が運動方程式を満たす軌道の時に、∫Ｌ(v，x)dt　の値は最小というのが、(1)の右辺から左辺への意味です（あぁ、ややこしい～(^^；)）。

　実際には、運動方程式を満たす軌道からx(t)が「ちょっとずれた」と考えて（v(t)も当然ちょっとずれる）、Ｌ(v，x)のvとxに関して微積を行う破目になります（変分計算）。その結果出てくるのが、ラグランジュ方程式、

　　(d/dt)(∂L/∂v)－∂L/∂x＝0　　　(2)

です。∂L/∂vや∂L/∂xが入ってくるのは、Ｌ(v，x)のvとxに関する微積をやった結果です。(2)に、L=1/2mv^2+mgxを代入してみて下さい。ちゃんと運動方程式になってますから(^^)。

　なんでこんな事をやるかと言うと、運動方程式を具体的に直接与えるより、作用積分の最小化という形で定式化した方が、色々なケースに一般化しやすく有理なんです。

　その一つが、極座標への変換なんかです。(x，y)→(r，θ)において、x＝x(r，θ)，y＝y(r，θ)と表し、x’とy’（時間微分）を作るまでは機械的に行けますが、具体的な運動方程式では、さらに加速度も必要になる。x’’とy’’の形を、計算に載るように整理するには、けっこうベクトルとかを幾何学的に組み合わせ（図を書いて）、難儀する事が多い。

　このような場合、(r，θ，r’，θ’)で表された(x，y，x’，y’)をＬの中にちゃちゃっと代入し、(2)から、

　　(d/dt)(∂L/∂ｒ’)－∂L/∂r＝0
　　(d/dt)(∂L/∂θ’)－∂L/∂θ＝0

をつくると、もうrとθに関する運動方程式になっていて、最後まで機械的計算で処理できます。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
現在，引っかかっているのは，Lに1/2mv^2+mgxを代入したのち，仮に∂r'で微分するときにどのように式を変形して行くのかという所で悩んでいます。第２項の∂r同様です。
tで微分するところは，位置→速度，速度→加速度に変わって行くのかなと思っていますが。。。
微分の基本的な所だとは思いますが，追加で回答していただければ幸いです。