- ベストアンサー
物理の微分方程式についてです
振り子の振動の問題を解いているのですが 微分方程式 (d^2θ/dt^2)=-gθ/L この式から角振動数ωを求めるにはどのようにすればよいでしょうか
- 199505220830
- お礼率14% (3/21)
- 物理学
- 回答数2
- ありがとう数0
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
d^2θ/dt^2=-gθ/L (1) p^2=g/Lとおくと(1)は d^2θ/dt^2＋p^2θ=0 (2) これは定数係数2階線形微分方程式。これを満たす解は微分方程式論的には 特性方程式 t^2+p^2=0 t=±ip(iは虚数単位） 基本解はe^(ipt),e^(-ipt) (2)の一般解は θ=ae^(ipt)+be^(-ipt) (3) 基本解はe^(ipt)=cos(pt)+isin(pt),e^(-ipt)=cos(pt)-isin(pt) であるので、これを(3)に用いて係数a,bの代わりにc,dを用いて θ=ccos(pt)+dsin(pt) (4) このようにsin,cosで書いたとき pを角周波数という。 つまり ω=p=√(g/L) 周波数(振動数)fは f=ω/2π=(1/2π)√(g/L) 周期Tは T=1/f=2π√(L/g)
その他の回答 (1)
- oze4hN6x
- ベストアンサー率65% (26/40)
この形の微分方程式の解は θ=Aexp(iωt+θ0) で与えられます。(解き方は「単振動 微分方程式」などで調べればたくさん出てきます) これを元の方程式に代入するとわかる通り、 ω^2 = g/L です。
関連するQ&A
- 微分方程式
こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。 次のx(t)に関する微分方程式 d^2x/dt^2=-1/x^2 ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0）,dx/dt=√２であるとする。 問題 与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。 必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2) 少し問題の書き方がおかしいかもしれませんが（微分の書き方）どなたかお願いします。 自分なりにといたのですが 与式の両辺にdx/dtをかけて dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt） 与えられた公式をつかい (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) ∫(1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-∫dx/dt*(1/x^2) ????? と与えられたヒント通りにしてそこからどうしたらいいのかわからなくなってしまいました・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 単振り子の線形近似と離散化
単振り子の問題について質問させて下さい。 振り子の紐の長さをL、振り子の先についている球の重さをm、糸の張力をT、重力加速度をg,角度をθとします。 1.単振り子の微分方程式を立て、その解の挙動をシミュレーションしなさい。 という問題が出たのですが、これは振り子の微分方程式d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)sinθをルンゲクッタ法で解いたものをグラフ化すればよろしいでしょうか？ 2.単振り子のある平衡点回りで線形近似し、シミュレーションしなさい。 という問題がいまいちよく分からないのですが、振り子の微分方程式d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)sinθのsinθ(θ<<1の時)のテイラー展開をして、1次項までを消去し、d^2θ(t)/dt^2 = -(g/L)θとなるのですが、これは線形近似できているのでしょうか？ 3.その線形近似を離散化して、シミュレーションしなさい。 2番が分からないので、3番ができないのですが、離散フーリエ変換でしょうか？ 以上3問ですが、ヒントでも構いませんので、ご助力願います。
- ベストアンサー
- 物理学
- 物理についての問題です．(強制振動)
物理についての問題です．（強制振動） d^2x/dt^2+2ɤ dx/dt+ω^2 x＝fosin(ω0t+Φ0) の特解を求めよ． [外力と同じ角振動数ω0の振動が残るので，xp(t)=Dsin(ω0t+Φ0+θ)の形で特解が見つかる．Dとθは微分方程式を満たすように決めなければならない．] 上記の問題についてご解説よろしくお願いします． 途中の計算もお願いします．
- ベストアンサー
- 物理学
- 微分方程式
こんにちは。微分方程式の問題が解けなくて困っています。 次のx(t)に関する微分方程式 d^2x/dt^2=-1/x^2 ただし初期条件はt=0でx=X0(x0>0）,dx/dt=√２であるとする。 (1) 与式の両辺にdx/dtを乗じて積分することにより、初期条件を満たすxについての1階微分方程式をもとめよ。 必要ならば、公式d/dt(dx/dt)^2=2*(dx/dt)*(d^2x/dt^2) (2)0<x0<1のときt(t≧0)餓変化した場合のx(t)の最大値を求めよ。 (1)は与式の両辺にdx/dtをかけて dx/dt(d^2x/dt^2)=-1/x^2*(dx/dt） 与えられた公式をつかい (1/2)*d/dt*(dx/dt)^2=-dx/dt*(1/x^2) (1/2)*d/dx*(dx/dt)^2=-(1/x^2) 両辺xで積分すると (dx/dt)^2=2/x+2(1-1/X0)(初期条件より） (2) は dt/dxが0すなわち1/xが-(1-1/X0）のときかとおもったのですが よくわからないです。 どなたかおねがいします。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 物理の問題が分かりません＞＜助けてください。
以下の文章中の(1)～(29)に適切な語句または式を入れよ。というものです。 長さl の糸の先に質量m の質点が付けられた単振り子がある。ある時刻t において鉛直線と糸のなす角がθ(t)で、速度がv(t)とする。角速度ωは、ω(t)=(1：)で与えられる。θが見込む円弧の長さをu とすれば、θの定義から(2：)なので、速度v(t)=(3：)となる。この質点に働く力は、糸の(4：)F と(5：)である。これらの力の(6：)を質点の(7：) 方向成分fθと(8：) 方向成分fr に分解すると、fθ=(9：)となり、この方向の運動方程式は(10：)と表せる。またfr=(11：)なので、この方向の運動方程式は(12：)となる。単振り子の振幅が小さいときは、θについて(13：)が成り立つので、(7)方向の運動方程式は(14：)となる。この方程式はω=(15：)とおけば、(16：)となり、これは(17：)の運動方程式である。従って、解θ(t)=(18：)と重ねあわせの形で書けるが、(19：)としてt=0 に角度θ0 の位置から静かに手を離した場合には、θ(t)=(20：)と表せる。振動の周期T は、T=(21：)=(22：)である。このように周期が振幅によらず一定であることを(23：)という。また、この質点に働く(4)F を求めるには、θ<<1 のときcosθ=(24：)と近似できるから、θ(t)=(20)を用いて(12)式から、F=(25：)=(26：)となる。t=0 では、F=(27：)となる。また、θ=0 のときのt0 は、(28：)であり、このときF=(29：)となる。 僕の回答は（1）はθ/tかdθ/dtと思います。 （2）はu=lθだと思います。（3）はわかりません。 （4）張力（5）重力（6）合力（7）はわかりません。 （8）半径（9）mgsinθ(10)m * d^2θ/dt^2 = -mgsinθ(11)～(16)まで分かりません。（17）単振動 （18）～（29）まで分かりません＞＜ 僕の回答があっているかと、分からない問題1つでも分かる方がいらっしゃればどうか回答よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 微分方程式をつかった問題なのですが…
次の強制振動の時間が十分経過したときの解xをx=Acos(ω₀t-δ)とし、このxを下記の微分方程式に代入することによって、振幅Aと位相のずれδを求めよ。 ただし、ω、ω₀、γはすべて正の値として扱ってよい。 d^2x/dt^2 + 2γdx/dt + ω^2x = f₀cosω₀t 詳しい解説、解答、よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 物理学
- この式の微分の仕方が分かりません
角運動量L=mr^2ωをtで微分してdω/dt=～の形にしたいのですがやり方が分かりません．どなたか分かる方がいらっしゃいましたら途中式も含めてよろしくお願いします．ちなみに，rとωがtの関数です．
- 締切済み
- 物理学
