微分方程式をさらに微分する

質問

下の画像のような微分方程式(＊)においてR=(z^2-1)^Lとする。

(＊)をｚで１回微分すると(1)式になり、さらに１回微分して(2)式、また微分して(３)式のようになるようですが、どうしてこうなるのでしょうか。それに微分方程式なのにそれをまた微分するという操作がよく分かりません。文章の通りに単純に微分しただけなんでしょうけど、-2(L-2)zが-2(L-3)zとなったり、-2(2L-1)が-2(3L-3)となったりと、どのようにして係数が変化したのか解説をお願いします。m(__)m

回答No.2

student0201 · ベストアンサー

積の微分を考えれば（１）（２）（３）と係数変化していくと思います。
（＊）の第２項がそのまま（１）の第２項になっているわけではないですよね、（＊）第１項の微分からも２階微分は出てきますので
なぜにこういう操作をするかはもっと詳しいかたを待ちます（すいません、わかりません）。

お礼

ありがとうございます。
dR/dzばかりに目が行ってて積の微分だという事に気づいていませんでした。

回答No.4

島崎 崇（@tadopika）

R=(z^2-1)^L ...[A]

文章から、Lは定数と判断します。
[A]式両辺の対数をとって、
logR=Llog(z^2-1)

両辺をzで微分すると、
R'/R=L*2z/(z^2-1)
ここで、dR/dz=R' と表記しています。
(z^2-1)R'=2LzR

更にzで微分すると、
(z^2-1)R''+2zR'=2LzR'+2LR
(z^2-1)R''-2(L-1)zR'-2LR=0
(*)式になりました。

これを再びzで微分すれば、
(z^2-1)R'''+2zR''-2(L-1)zR''-2(L-1)R'-2LR'=0
(z^2-1)R'''-2(L-2)zR''-2(2L-1)R'=0
(1)式になりました。
(2)式以下も同様に計算されます。

回答No.3

Knotopolog

R＝((z^2)－1)^L
を z で一回微分すると，
(dR/dz)＝2LzR((z^2)－1)^(－1)
が得られます．この式をもう一度 z で微分して整理すると，（＊）印の式が得られます．

多分，R＝((z^2)－1)^L を３回微分して式を整理すると，（１）印の式が得られと思います（計算してませんが）．

したがって，R＝((z^2)－1)^L を４回微分して式を整理すると，（２）印の式が得られような性質を持つのが，R＝((z^2)－1)^L であろうと思います（計算してませんが）．

試しに，計算してみて下さい．

＞それに微分方程式なのにそれをまた微分するという操作がよく分かりません。
微分方程式を解くときに，まず，微分方程式全体を一度微分するという解法が実際にあります．微分方程式を，さらに微分するというのは普通の事で不思議ではありません．

回答No.1

Tacosan

実際に計算してみてはいかがでしょうか?