運動方程式が立てられない（ばねの単振動）

質問

添付した問図の問題で、運動方程式が立てられなくて困ってます！

問題⇒自然長l１、ばね定数k１のばねと自然長l２、バネ定数ｋ２のばねの間に質量ｍのおもりをつけてなめらかな面に置き、両方のばねの他端を自然等の位置で固定した。運動方程式を求めよ。

ちなみに教科書の答えは、

m[xの二回微分]　＝　-k1(x-l1) + k2(l1+l２-x-l2)

が正しい答えのようです。すみませんが[]の中は微分演算子d/dxを使って読みかえてください。
特に第二項がわけわからんです。なぜこういう式になるのか、教えていただきたいです！ちなみにフックの法則の式、微分を用いた運動方程式の基本は知っているつもりです。
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

まず、最初に申し上げますが、
その模範解答を書いた人は、阿呆だと思います。
なぜならば、ｌ1が１つ決まればｌ2も１通りで決まるので、
運動方程式の中には、ｌ1とｌ2の両方を書く必要がないからです。

また、
そもそも「自然長」をｌ1、ｌ2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもｌ1、ｌ2と書いているのも阿呆です。
（ですから下の回答では、大文字でＬ1、Ｌ2　と書くことにします。）

１．
まず、あまりよくない解き方を示します。

ばね１によるおもりへの力は、－ｋ1（ｘ－Ｌ1）
これは、簡単。

次に、
ばね２によるおもりへの力は、右から左に見て
－ｋ2（（全長－ｘ－Ｌ2）＝－ｋ2（Ｌ2＋Ｌ1－ｘ－Ｌ2）
だけれども、これを左から右に見たときは符号が逆になるから
＋ｋ2（Ｌ2＋Ｌ1－ｘ－Ｌ2）
↑
この考え方は、右方向がプラスだとする考え方をしないで計算してから、後から戻すということなので、
かなり変な考え方です。

よって、２つのばねによるおもりへの合計の力は
－ｋ1・（ｘ－Ｌ1）＋ｋ2（Ｌ2＋Ｌ1－ｘ－Ｌ2）　←ご質問文にある式
　＝　－ｋ1・（ｘ－Ｌ1）＋ｋ2（Ｌ1－ｘ）
　＝　－ｋ1・（ｘ－Ｌ1）－ｋ2（ｘ－Ｌ1）
　＝　－（ｋ1＋ｋ2）（ｘ－Ｌ1）
結局、Ｌ2は消えて、Ｌ1だけ残りました。

２．
今度は、よい解き方です。
ばね１もばね２も自然長のときのおもりの位置をゼロとする座標をｙ（＝ｘ－Ｌ1）と置けば、
・ばね１によるおもりへの力は、－ｋ1・ｙ
・ばね２によるおもりへの力は、－ｋ2・ｙ

よって、２つのばねによるおもりへの力の合計は、
－ｋ1・ｙ　－　ｋ2・ｙ　＝　－（ｋ1＋ｋ2）ｙ
　＝　－（ｋ1＋ｋ2）（ｘ－Ｌ1）

ちなみに、
m[xの二回微分]
は、
ｍ・ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2
と書けばよいですよ。

以上ご参考になりましたら幸いです。

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。

＞＞＞
そもそも「自然長」をｌ1、ｌ2 と指定しているのに、
伸び縮みしたバネの長さもｌ1、ｌ2と書いているのも阿呆です。
（ですから下の回答では、大文字でＬ1、Ｌ2　と書くことにします。）

上記の説明は撤回です。
ぼけてました。失礼しました。
（ただし、式は合っています。）

自然長の位置をゼロとして、右側をプラスとする座標にしておいて、
仕上げに座標にｌ1を足せば済むことなのに、
式を立てる最初のところでｌ1やｌ2を引き合いに出してわざわざ式を複雑にする必要がない、
ということを言いたかったのです。

お礼

みなさま、お礼が遅れてしまいましたが、この場を借りて感謝します！
みなさんのおかげで理解する助けになりました。ありがとうございました。
ポイントは一番最初に回答してくれたかたとわかりやすかった方に差し上げます。

回答No.3

noname#96417

右辺第2項ですが、
右のばねの長さは　(l1 + l2) - x
よってその自然長からの伸びは　(l1 + l2 - x) - l2
これが正のときにおもりは正（右向き）の力を受けるので、
右のばねがおもりに及ぼす力は　k2 (l1 + l2 - x - l2)
です。
この式は　k2 (l1 - x)　
と変形できるので、
結局、右辺は　- (k1 + k2)(x - l1)
とまとめられます。
運動方程式ではこの形を答えるべきだと思います。
教科書の「答え」は（説明のための）途中の式ではありませんか？
もちろん、右のばねの伸びが　l1 - x　であることを始めから見抜ける人は、
そのような答え方をしてもよいと思います。

＃ l1, l2 を他の文字で書く必要はありません。

回答No.2

R_Earl

> そもそも「自然長」をｌ1、ｌ2 と指定しているのに、
> 伸び縮みしたバネの長さもｌ1、ｌ2と書いているのも阿呆です。
> （ですから下の回答では、大文字でＬ1、Ｌ2　と書くことにします。）

教科書の答えでは、伸び縮みしたバネ全体の長さをl1, l2とは置いていませんよ。
教科書の中では、l1, l2は常に「バネの自然長」を表しています
（仮にL1が「伸び縮みしたバネ全体の長さ」だとすると、x - L1は常に0となるはずです）。

おもりにかかる力は

(バネ定数) × (バネの伸び)

です。
なので「バネの伸び」が分かれば良いのですが、
一気に「バネの伸び」を考えるのは大変です。
そこでまず「伸び縮みしたバネ全体の長さ」を考え、
そこからバネがどれぐらい伸びたのかを考えます。

[1] 伸び縮みしたバネ全体の長さ

バネ定数k1のバネの、伸び縮みした時の全体の長さ = x
バネ定数k2のバネの、伸び縮みした時の全体の長さ = l1 + l2 - x

[2] バネの伸び

バネ定数k1のバネの伸び
= (バネ定数k1のバネの、伸び縮みした時の全体の長さ) - (バネ定数k1のバネの自然長)
= x - l1

バネ定数k2のバネの伸び
= (バネ定数k1のバネの、伸び縮みした時の全体の長さ) - (バネ定数k2のバネの自然長)
= (l1 + l2 - x) - l2