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質問

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回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

Xを周期とする周期関数をf(x)
とすると
f(x)={(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n)cos(2nπx/X)+(b_n)sin(2nπx/X)}
a_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)cos(2nπx/X)dx
b_n=(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)sin(2nπx/X)dx
b_0=0
e^{2nπxi/X}=cos(2nπx/X)+isin(2nπx/X)
e^{-2nπxi/X}=cos(2nπx/X)-isin(2nπx/X)
cos(2nπx/X)=(e^{2nπxi/X}+e^{-2nπxi/X})/2
sin(2nπx/X)=i(e^{-2nπxi/X}-e^{2nπxi/X})/2
だから
A_n=(a_n-ib_n)/2
B_n=(a_n+ib_n)/2
とすると
f(x)=
{(a_0)/2}
+Σ_{n=1～∞}{
(a_n)(e^{2nπxi/X}+e^{-2nπxi/X})/2
+(b_n)i(e^{-2nπxi/X}-e^{2nπxi/X})/2}
f(x)={(a_0)/2}+Σ_{n=1～∞}{(a_n-ib_n)(e^{2nπxi/X})/2+(a_n+ib_n)(e^{-2nπxi/X})/2}
∴
f(x)=Σ_{n=0～∞}{(A_n)(e^{2nπxi/X})/2+(B_n)(e^{-2nπxi/X})/2}

A_n=(a_n-ib_n)/2
={(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)cos(2nπx/X)dx-i(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)sin(2nπx/X)dx}/2
=(1/X)∫_{-X/2～X/2}f(x){cos(2nπx/X)-isin(2nπx/X)}dx
=(1/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)e^{-2nπxi/X}dx

B_n=(a_n+ib_n)/2
={(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)cos(2nπx/X)dx+i(2/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)sin(2nπx/X)dx}/2
=(1/X)∫_{-X/2～X/2}f(x){cos(2nπx/X)+isin(2nπx/X)}dx
=(1/X)∫_{-X/2～X/2}f(x)e^{2nπxi/X}dx

お礼

どうもありがとうございました！