問題が解けないです。

質問

下の問題の解き方が
わからないです。
途中の計算を教えてください。

回答No.1

yyssaa

11.＞http://mathtrain.jp/mlm
等々のラグランジェの未定乗数法によると、以下の通り。
なお、∂L/∂x=Lx、∂L/∂y=Ly、∂L/∂λ=Lλと略す。
(1)f(x,y)=y、g(x,y)=x^2-xy+y^2-y
＞L(x,y)=y-λ(x^2-xy+y^2-y)
Lx=-λ(2x+y)=0
Ly=1-λ(-x+2y-1)=0
Lλ=-(x^2-xy+y^2-y)=0
連立で解いて(0,0)及び(-2/7,4/7)の2点・・・答
(2)f(x,y)=xy、g(x,y)=x^2+4y^2-1
＞L(x,y)=xy-λ(x^2+4y^2-1)
Lx=y-λ(2x)=0
Ly=x-λ(8y)=0
Lλ=-(x^2+4y^2-1)=0
連立で解いて(±√2/2,±√2/4)の4点・・・答
(3)f(x,y)=x^2+y^2-2x、g(x,y)=x^2+y^2-4
＞L(x,y)=x^2+y^2-2x-λ(x^2+y^2-4)
Lx=2x-2-λ(2x)=0
Ly=2y-λ(2y)=0
Lλ=-(x^2+y^2-4)=0
連立で解いて(±2,0)の2点・・・答
(4)f(x,y)=xy+x+y、g(x,y)=x^2+y^2-1
＞L(x,y)=xy+x+y-λ(x^2+y^2-1)
Lx=y+1-λ(2x)=0
Ly=x+1-λ(2y)=0
Lλ=-(x^2+y^2-1)=0
連立で解いて(±√2/2,±√2/2)(複合同順)
及び(-1,0)及び(0,-1)の4点・・・答
(5)f(x,y)=x^2+2y^2、g(x,y)=x^2-2xy+3y^2-6
＞L(x,y)=x^2+2y^2-λ(x^2-2xy+3y^2-6)
Lx=2x-λ(2x-2y)=0
Ly=4y-λ(-2x+6y)=0
Lλ=-(x^2-2xy+3y^2-6)=0
連立で解いて(±2√2,±√2)(複合同順)
及び(-1,1)及び(1,-1)の4点・・・答
12.＞4x^2+9y^2≦36は(x/3)^2+(y/2)^2≦1
(x/3)^2+(y/2)^2=1は長軸、短軸の長さがそれぞれ6と4の
楕円だから、f(x,y)がこの楕円の内部(楕円上を含む)を
通過するという条件を満たす場合の最大値と最小値を
求める。どの問題も図を描いて見当を付ける。
(1)f(x,y)=xy
＞図からf(x,y)=xy＞0で楕円に接するときにf(x,y)が最大
となり、逆にf(x,y)=xy＜0で楕円に接するときに最小になる。
xy=kとおいてy=k/xを4x^2+9y^2=36に代入すると、
4x^2+9k^2/x^2=36、4x^4-36x^2+9k^2=0
接する条件は根の判別式=0だから36^2-4*4*9k^2=0、これを
解いてk=±3。よって最大値は3、最小値は-3・・・答
(2)f(x,y)=x+y
＞x+y=kとおくとkは直線y=-x+kのy切片だから、(1)と同様に
この直線が楕円に接するときに最大、最小となる。
y=-x+kを4x^2+9y^2=36に代入すると、4x^2+9(-x+k)^2=36
13x^2-18kx+9k^2-36=0、根の判別式=0から
(18k)^2-4*13(9k^2-36)=0を解いてk=±√13
よって最大値は√13、最小値は-√13・・・答
(3)f(x,y)=x+2yなら(2)と同様
＞x+2y=k、y=-x/2+k/2を4x^2+9y^2=36に代入すると
4x^2+9(-x/2+k/2)^2=36、25x^2-18kx+9k^2-144=0
根の判別式=0から、(18k)^2-4*25(9k^2-144)=0
を解いてk=±5
よって最大値は5、最小値は-5・・・答
(4)f(x,y)=x^2+y^2
＞x^2+y^2=kとおくと、k≧0。k＞0のときは原点(0,0)を
中心とする半径√kの円だから、kが最大になるのは半径
が楕円の長軸の1/2になるとき、すなわち√k=3のとき。
よって最大値は9、最小値は0・・・答