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a^0=1 の証明 ...
２つの前提を置く。（a^p, a^qは実数） a^p a^q = a^(p+q) a^(-1) ≠ 0 a^0 に対して、次の関係式が成り立つ。 a^0 a^0 = a^0 より a^0 (a^0 - 1) = 0 よって、a^0 は 0 または 1 である。 次に、a^1 ≠ 0 と a^1 = 0 とに分けて考える。 ただし、a^1 は実数とする。 a^1 ≠ 0 であるなら a^1 a^0 = a^1 により a^0 = 1 である。 a^1 = 0 ならば a^(-1) a^1 = a^0 a^(-2) a^1 = a^(-1) であるから a^0 = 0, a^(-1) = 0, … となるが、この結果はもう一つの前提に反する。 これは a^0 = 0 を許しているからであり a^0 = 1 とすれば a^(-1) × 0 = 1 により a^(-1) が未定義となるので回避される。 以上により、a^0 = 1 であることが証明された。 …で良い？
- fusem23
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←No.22 補足 ＞ 指数関数の拡張としてはそうするしかない ＞ と言えるのではないですか？ そのとおり。言えます。 それが当に、「a^0=1 は必要条件」ということです。 「指数関数の拡張としてはそうするしかない」すなわち 他に候補は無い…ということは正しく示されました。 そのことと、だからそう定義して矛盾なく拡張できる ということは、全く別の話です。T=-1 が実数 T の 存在証明にならなかったことを、思い出しましょう。 十分性について、貴方は No.8 補足の定義を挙げています。 それに従えば、0^0=1 の根拠は「そう定義したから」です。 定義に、そう明記してあるんですからね。 質問文中の証明は、a^(-1) を使用していますから、 a=0, p<0 のとき a^p が未定義であるような定義の下では、 a=0 の場合に適用することはできません。 No.8 補足の定義によれば、 0^0=1 は、質問の証明とは関係なく、 単に定義にそう書いてあるから成り立つのです。 a>0 のとき指数法則から a^0=1 が導かれるのとは、 理由が違います。
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- alice_44
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いや、使っているよ。 ＞ a^1 = 0 ならば ＞ a^(-1) a^1 = a^0 は、まさに、 指摘した p = -q ≠ 0 の場合にあたる。
お礼
a^(-1) = 0 a^0 = 0 a^1 = 0 ならば、第一式が成立する範囲ですね。 第一式が使えるかどうかは、a の値と無関係です。 最初に書いてるように「a^p, a^qは実数」というのが条件です。 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
良い。 ただし、二つの前提 a^p a^q = a^(p+q) a^(-1) ≠ 0 が成立するような a,p,q の範囲に限っては。 例えば、a = 0 の場合は、 p = -q ≠ 0 で前提の第一式が成立しないから、 貴方の証明には当てはまらない。 前提の式が成立しない理由は、A No.1 にある。
お礼
a^0 を求めるために第一式を使っているのは a^0 a^0 = a^0 だけですよ。 第一式が成立すると仮定して求めた a^0 や a^(-1) の値は破棄してますから。 それとも、第一式が成立しないから a^(-1) を未定義としたことが問題になるのですか？ a^p と a^q が実数で成立するならば、成立しないのはどちらかが実数でないからですよね？ 回答ありがとうございました。
- Drgorilla
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前提が正しいのなら、 p=1, q=-1にしたらよいのでは。
お礼
それでは a^0 は求められないでしょうね。 a^(-1) が未定義では、掛け算はできません。 回答ありがとうございました。
> 証明が正しいかどうかを確認してるのであって、 > 証明せずに定義すべきというのは論点が違うと思います。 ならば自分の考えを言うと、 前提の段階でa^(-1)≠0と決めていますよね。 だけどa^0が決められていない段階で、a^(-1)を持ってきて良いの？ と思うのです。 べき乗というのは自然数であれば、同じ数を数回かけるということで 非常に分かりやすい概念です。しかし0乗や-1乗のような自然数以外の数に 拡張する場合、”3を0回かける、-1回かけるってどういうこと？”ってなります。 なので、0乗や-1乗とはどういうものなのか、一意的に決まるのか、 そもそも数なのかということを決めてやらなければなりません。 そしてその定義が今までの指数法則などに組み込んでも矛盾がない ということではじめて0乗や-1乗という拡張できるのではないでしょうか。 そのあたりが、#1で言った、証明することではなく定義することなのでは？ ということです。 また0乗の証明をする上で-1乗を使うということは、 ”ならば-1乗はどういう風に定義されるの？一意的に定義されるの？” という風になりませんか？ 例えば、ある証明の中に、一意的に定義される値として”0の0乗”を使っていたら どう思いますか？ 今の高校の数学の知識を持っている人ならば、0乗や-1乗が一意的に定義される値として 決まることは分かっていますが、aの0乗=1ということを証明したいときに 値はいくつかはともかく-1乗が一意的に定義される数であるということを 使いたいのであれば、その証明が先に必要になるのではないでしょうか。
お礼
> 前提の段階でa^(-1)≠0と決めていますよね。 > だけどa^0が決められていない段階で、a^(-1)を持ってきて良いの？ > と思うのです。 通常では a^(-1) は a の逆数として定義されています。 それが 0 にならないと仮定することに問題がありますか？ > そしてその定義が今までの指数法則などに組み込んでも矛盾がない > ということではじめて0乗や-1乗という拡張できるのではないでしょうか。 指数関数には連続性が求められますので、これは指数関数ではありません。 が、指数法則と矛盾しない値が何になるのかと考えて得た結論です。 > 値はいくつかはともかく-1乗が一意的に定義される数であるということを > 使いたいのであれば、その証明が先に必要になるのではないでしょうか。 -1乗が実数でないことは証明してると思いますが、それでは後の証明が不十分ということですか？ 回答ありがとうございました。
- nag0720
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a^(-1) ≠ 0 と仮定するならそうでしょうね。 じゃあ、0^(-1) はなに？
お礼
> a^(-1) ≠ 0 > と仮定するならそうでしょうね。 ありがとうございます。 > じゃあ、0^(-1) はなに？ 実数じゃないとは言えるでしょうね。 1/0 と同じです。 回答ありがとうございました。
そもそもa^0=1って証明することなの？ 定義することなのでは？
お礼
証明が正しいかどうかを確認してるのであって、 証明せずに定義すべきというのは論点が違うと思います。 回答ありがとうございました。
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