0^-1 って何ですか？

質問

0^(-1) つまり ０のマイナス１乗って何ですか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

煽りまくっているねえ。確信犯なのかな？
質問氏の目的が、質問なのか、祭りなのかはさておき、
^-1 の定義は A No.1 No.2 で明確に回答されています。

x=a^-1　⇔　ax=1　です。

自分が知らなかったことは、他人の勝手な思い込みと
決めてしまったのでは、質問すること自体が成り立ちません。
「聞く耳を持つ」ということも大切。
信用ならないと思ったら、自分で調べてウラをとればいいでしょう。
代数の入門書には、必ず書いてあることです。

a^-1 は、質問氏が言うように a≠0 のときだけ a の逆元で
a=0 のときは逆元ではない…のではなく、

a^-1 は、常に a の逆元を表す記号であり、
0^-1 という記号は「0 の逆元」を表すけれど、
記号が指す「0 の逆元」というものは存在しない…って話です。

「オバケなんていないさ～」でも、「オバケ」という言葉は在る。
そんなところかな。

お礼

> a^-1 は、常に a の逆元を表す記号であり、
> 0^-1 という記号は「0 の逆元」を表すけれど、
> 記号が指す「0 の逆元」というものは存在しない…って話です。

wikipedia の「逆数」にはこう書かれています。
「0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいはa^(-1)と表される。」
この文からすると、a が 0 の時は、その表記は保証されないとも受け取れます。

また、群論によれば、右逆元と左逆元というものがあり、単に逆元と言われているのは両側逆元のことであります。
そして、右逆元や左逆元を表す記号を私は知らないし、wikipedia の「逆元」の記述を見ても、両側逆元を示す記号は載っていません。
だから逆元を表す記号は決められていないと言い出すつもりはないですが、私は確信を得たいのです。

回答ありがとうございました。

回答No.15

oronineointment

代数的な見方で進めます　1/0を複素数の無限大とする分野もあるようなので。

1と-1として登場してるので少なくとも
0　と　1　が存在する事になります（0＝1の可能性もありますが）
ちなみに　0は何に足しても変わらない数　1は何をかけても変わらない数とします　ここから0*x=0が導けます。 (1-1)*x=x-x=0 ってことね

ここで、0^-1　を　0をかけると1になる数とすると上の0*x=0と矛盾します。　　（ただししつこいようですが0＝1ならこの限りじゃないです）だから定義されていません。

けどここで終わったらつまらないです。数学ではしょっちゅう割れないもの（数字以外のものとか）を扱うから割れない程度で分数表示を諦めるわけにはいきません。そこで商環（または分数環）というものを考えて0で割ると（この世界だとｘ/1とか平気で書きます）
1/0＝0/1＝x/y すなわち約分できすぎちゃって全部の分数が0になります（笑）　（約分ってある意味分母と分子に同じ数をかけるってみなせるから1/0を認めると、どっちにも0をかけることで「約分」できちゃう）

冒頭にも書いたように1/0を無限とする分野もあります。数学は自分自身が正しいことを証明できないので1/0が必ずこうなる！って示せないのです。だからこういう考えもあるのか　位にとどめておいて、基本的には0で割ることは定義されてないと覚えとけばいいでしょう。　間違いなく0で割って無限大とかどんな数にでもなるとかやるとテストではじかれます

お礼

> ここで、0^-1　を　0をかけると1になる数とすると上の0*x=0と矛盾します。

矛盾するのは、前提が間違っているから…となるのですよね？

> そこで商環（または分数環）というものを考えて

0 で割ることができる体系なら、0^-1 は 0 の逆元で決まりです。

回答ありがとうございました。

回答No.14

jmh

#11礼> ３番目は私が言ったことではありませんね。

「０^-1 が ０ の逆元を意味しないこともあり得る」のことですか？

#12礼> 「Ａの逆元をＡ^-1で表す」
#12礼> 「０でない数ａに対する逆数は通常、１/ａ あるいはａ^(-1)と表される。」

２つの違いが分からないけど、どちらも似たようなことが普通に書かれてそうな気がします。書かれてたとしても、貴方が「心配」するようなことは何にも起こりませんよ。そして、今回の私の答えは「心配御無用」です。

お礼

> 「心配御無用」です。

では、心配しないことにします。

回答ありがとうございました。

回答No.13

ta20000005

そうでしたね。つまり、この群で0の逆元として0^-1=0になっているわけです。0^-1が1/0にならなかったということでしょう。

お礼

> 0^-1が1/0にならなかったということでしょう。

１は通常単位元ですが、今回は０が単位元です。
よって、0^-1 = 0/0 という関係なら成り立ちますね。

ただ、通常 0^-1 と言った場合には、単位元は１であり、今回の群にも当たりません。
多分その場合には、0^-1 = 1/0 だと思われるので、0^-1 が 単位元/0 にならなかったとは言えないでしょう。

ただし、元の話題であった半群には単位元がないので、その場合には Aの逆元 と 単位元/A は異なると言えるでしょうね。

回答ありがとうございました。

回答No.12

alice_44

質問氏が問うているのは、0 に逆元が存在するか否かではなく、
0∧-1 は 0 の逆元を表す記号なのかどうかだ。
A No.8 への補足に、明確にそう書いてある。
彼に対して「自分で考えて答える」ことが無意味であることは、
これまでの回答が「勝手な思い込み」「ローカルルール」と
反応されていることから解る。
彼は、数学の内容ではなく、その記号法が知りたいのだから、
論証することは無意味で、
諸氏の回答を素直に信じるか、辞典でも引く他はないのだ。
私の前回の回答に、代数の入門書を読め と書いておいたが…
その後の回答への反応から見て、おそらく、本で調べてはいまい。
「自分で考えて」他人の説明を訝りつづけているのだろうと思う。
Wikipdeia の行間で空想している暇に、本を読んで、
勉強したらいいのにね。

お礼

> 諸氏の回答を素直に信じるか、辞典でも引く他はないのだ。

回答を素直に信じるためには、入門書にこう書いてあったと書けばいいのに…

「Aの逆元をA＾－1で表す」

私が心配してるのは

「0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいはa^(-1)と表される。」

のような記述なのだから、そうは書かれていないと念押しするだけでいい。

という訳で念押ししますが、０＾－１の意味を
０／０／０　や　０＾０／０
と考えるのは間違いですね？

回答ありがとうございました。

回答No.11

jmh

あなたの質問はこんな感じに聞こえます…。

将棋で「歩」を裏返しにすると「と金」に成って「金」と同じ動きになります。では、「金」を裏返しにすると、どのような動きになるのでしょうか？

例えば「歩」は「と金」に成る　＜＞　例えば ２^-1 ＝ ０.５ と計算できる
「金」は物理的に裏返しにすることができた　＜＞　０^-1 と表記ができた
「金」の裏返しが「成駒」を表すとは限らない　＜＞　０^-1 が ０ の逆元を意味しないこともあり得る
裏返しの「金」の動かし方は？　＜＞　０^-1 って何？

答えはいろいろありえると思います。「定義されていない」「古代の将棋では…」「チェスでは…」「玉と同じ（断言）」「裏に好きな駒を書けばいい」

私の答えは「普通、実戦で金を裏返しに指したらルール違反で負けるだろう。次の手番は来ないので動かせない。動き方を決めておく必要もない。」に近いです。普通、「０^-1」は未定義です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6#.E5.BD.A2.E5.BC.8F.E4.B8.BB.E7.BE.A9

お礼

> 例えば「歩」は「と金」に成る　＜＞　例えば ２^-1 ＝ ０.５ と計算できる
> 「金」は物理的に裏返しにすることができた　＜＞　０^-1 と表記ができた
> 「金」の裏返しが「成駒」を表すとは限らない　＜＞　０^-1 が ０ の逆元を意味しないこともあり得る
> 裏返しの「金」の動かし方は？　＜＞　０^-1 って何？

３番目は私が言ったことではありませんね。これこそが質問事項です。
私は裏返しの「金」の動かし方を聞いているのではなく、0^-1 が 0 の逆元を意味しないことがあり得るかどうかを聞いているのですよ。

0^-1 が「金」の裏返しのように、定義されたものならそれで済み。
a^-1 = a/a/a というような定義が別にあって、逆元とたまたま一致するから使われているのなら、０の逆元と 0^-1 は一致しない。
どちらなのか自分の考えで答えるのは難しいことですか？

回答ありがとうございました。

回答No.10

ta20000005

半群には単位元は一般にありません。それでも逆元が定義できるということです。

お礼

半群における逆元の定義は次のようなものです。（wikipedia の「逆元」より）
Sの元 y が xyx = x かつ y = yxy を満たすとき、y は単に x の逆元であるといわれる。

ここで単位元eの存在を仮定すれば、次の式が成り立ちます。
xy = e, yx = e
つまり、半群に単位元の存在が証明されたならば、逆元は普通の意味での逆元となります。

あとは提示された集合に単位元が存在するかですが、0^nの集合と言っているものは結局０に等しいのですから含まれる元は０だけであり、0*0=0 が成立することは０が単位元であることを示しています。
また、０の逆元が０であることも明らかでしょう。

> 半群には単位元は一般にありません。それでも逆元が定義できるということです。

半群における逆元が独自のものとなるためには、単位元が存在してはいけません。
あなたが作った集合は、そうなってはいません。

回答ありがとうございました。

回答No.9

ta20000005

>a が０の場合も含めて a^-1 が逆元であるという意見の方が多いようです。

0^nの集合は群にはなりませんが、半群になります。半群におけるaの逆元は
a(a^*)a=a
かつ
(a^*)a(a^*)=a^*
を満たすa^*として定義されます(一意的に定まるとは限りませんが)。
a=0とすると
0(0^*)0=0
は明らかに成り立ちます。
(0^*)0(0^*)=0^*
からは
0=0^*
とならなければいけないことが導かれます。これは、半群で見れば先の0^-1=0が確かに逆元になっていることを示しています。

お礼

> 半群で見れば先の0^-1=0が確かに逆元になっていることを示しています。

その場合、単位元は何になりますか？
私の知識では 0(0^*) が単位元となり、それは０だと思います。

つまり、０を唯一の元として、単位元を０、逆元を０とすれば、群となります。
が、私が知りたいのは、１を単位元とする普通の文脈においての逆元です。
できれば、それに基づいて考えてください。

回答ありがとうございました。

回答No.8

sunflower-san

No.1です。

何だか禅問答みたいなやりとりですよね。
質問者様は仮定と結論をごちゃまぜにされているように感じます。

私はa^(-1)の記号の定義を(＊):「ab=1となるbが存在するときa^(-1)=bと定める」とする仮定の上で、「0^(-1)は存在しない」という結論を導いただけのことです。質問者様はこの仮定に対して根拠を示すように言われましたが、仮定に根拠はありません。単に「そうだとすると」ということですから。
もし(＊)の定義に不満があるのなら、質問者様の定義を明確にしてください。定義が決まっていないと、値は決まりようがないですよ。あなたがおっしゃっていることは「fは何らかの関数です。f(0)の値はどうなるでしょうか」という質問に等しい。この質問はfの定義をしないと意味をなさないでしょう。

お礼

> 質問者様は仮定と結論をごちゃまぜにされているように感じます。

> 私はa^(-1)の記号の定義を(＊):「ab=1となるbが存在するときa^(-1)=bと定める」とする仮定の上で、「0^(-1)は存在しない」という結論を導いただけのことです。
> 質問者様はこの仮定に対して根拠を示すように言われましたが、仮定に根拠はありません。

私が要求した根拠は、ただ単にa^(-1)の記号の意味が一般的であることです。
それさえも示せないのであれば、あなただけのローカルルールとなってしまいますよね？

私が聞いているのは、普段a^(-1)を逆元として使っているから0^(-1)も０の逆元だという思い込みがないかという確認です。
０の逆元についても0^(-1)という記号で表すと習ったか、あるいはそういう記述を見たか、そういう部分を聞きたいのです。
０でない場合に逆元をa^(-1)で表すから０の場合も0^(-1)で表すであろう、という類推で言われているのなら根拠として薄いです。

私としては、指数法則から考えるならば
0^(-1) = 0/0/0 または 0^0/0
のことであろうと推測しています。
どちらにしても、これが０の逆元であるためには
0/0 = 1 または 0^0=1
という仮定が必要だと感じます。

そういう仮定なしに、0^(-1)が０の逆元だと主張する根拠は何なのでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.7

ta20000005

指数法則
(a^m)(a^n)=a^(m+n)
を満たすような0^rにおいて0^-1=αと定義できたとします。
(0^1)(0^-1)=0^(1-1)=0^0
なので、
0α=0^0
つまり
0^0=0
でなくてはなりません。よって
0^0=1という立場や0^0を未定義とする立場では
0^-1は定義できない
ことになります。
0^0=0とする立場はあまり歓迎されませんが、この場合は0^-1を定義することは可能で、実際任意の複素数zについて
0^z=0
とすれば指数法則を満たしますので、特に0^-1=0とすることもできます。

お礼

> 0^0=0とする立場はあまり歓迎されませんが、この場合は0^-1を定義することは可能で、
> 特に0^-1=0とすることもできます。

その場合、明らかに 0^-1 = 1/0 ではありませんね。
つまり、 0^-1 が 0 の逆元を意味しないこともあり得るってことです。

ただし、他の回答を見れば分かるように、a が０の場合も含めて a^-1 が逆元であるという意見の方が多いようです。
ますます混乱してきてしまいました。

回答ありがとうございます。

回答No.5

ask-it-aurora

回答 No.2 の補足です.
おかしいのではないか？と指摘された部分は最初に掲げた逆元の定義を 0 に当てはめただけです. 論理としては正しいです.

ただし命題として正しい, と言っているのではありません; そもそも 0^(-1) が存在すると仮定した時点で間違っているので.

お礼

> おかしいのではないか？と指摘された部分は最初に掲げた逆元の定義を 0 に当てはめただけです.
> 論理としては正しいです.

逆元の定義を疑っている訳ではありません。
逆元を常にa^(-1)と表すのが正しいかどうか確認したいだけなのです。

a に逆元b が存在するとして
a×b=1
の関係があるならば、b を掛けることは a で割ることと等しくなり
a/a = a×b = 1 (= a^0)
a/a/a = a×b×b = 1×b = b (= a^(-1))
となることは明白です。
したがって、慣用的に逆元のことを a^(-1) と書くことは認められると思います。

しかし、a が０だと考えた場合
0^(-1) = 0/0/0
のことを表すのではありませんか？
そしてこれが逆元だとするなら、0/0 = 1 とでも置くしかありません。
それはとても奇妙に思えるのです。

私としては 1/0 は0の逆元だと認めるのですが
0^(-1) = 1/0
は（意味的に）常に正しいのでしょうか？

回答ありがとうございました。