0^-1 って何ですか？

質問

0^(-1) つまり ０のマイナス１乗って何ですか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

煽りまくっているねえ。確信犯なのかな？
質問氏の目的が、質問なのか、祭りなのかはさておき、
^-1 の定義は A No.1 No.2 で明確に回答されています。

x=a^-1　⇔　ax=1　です。

自分が知らなかったことは、他人の勝手な思い込みと
決めてしまったのでは、質問すること自体が成り立ちません。
「聞く耳を持つ」ということも大切。
信用ならないと思ったら、自分で調べてウラをとればいいでしょう。
代数の入門書には、必ず書いてあることです。

a^-1 は、質問氏が言うように a≠0 のときだけ a の逆元で
a=0 のときは逆元ではない…のではなく、

a^-1 は、常に a の逆元を表す記号であり、
0^-1 という記号は「0 の逆元」を表すけれど、
記号が指す「0 の逆元」というものは存在しない…って話です。

「オバケなんていないさ～」でも、「オバケ」という言葉は在る。
そんなところかな。

お礼

> a^-1 は、常に a の逆元を表す記号であり、
> 0^-1 という記号は「0 の逆元」を表すけれど、
> 記号が指す「0 の逆元」というものは存在しない…って話です。

wikipedia の「逆数」にはこう書かれています。
「0 でない数 a に対する逆数は通常、1/a あるいはa^(-1)と表される。」
この文からすると、a が 0 の時は、その表記は保証されないとも受け取れます。

また、群論によれば、右逆元と左逆元というものがあり、単に逆元と言われているのは両側逆元のことであります。
そして、右逆元や左逆元を表す記号を私は知らないし、wikipedia の「逆元」の記述を見ても、両側逆元を示す記号は載っていません。
だから逆元を表す記号は決められていないと言い出すつもりはないですが、私は確信を得たいのです。

回答ありがとうございました。

回答No.4

MagicianKuma

未定義があなたの求める答えではないなら、
答え：0^-1 は何でもありません。　強いていえば記号列です。

お礼

> 未定義があなたの求める答えではないなら、
> 答え：0^-1 は何でもありません。　強いていえば記号列です。

私が求める答えは、あなたが何を根拠に何と考えるかです。
別に 0^-1 が逆元でそれが未定義だというのなら、それで構いません。
ただし、その根拠を示してください。

a が０でないなら a^(-1) は逆元になるから a が０の場合も逆元（だろう）では、根拠として疑わしいです。

回答ありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

何ら説明することなく「-1乗」とかいたら, それは (情報に関する) 逆元を表します.

そうでないというなら, あなたのいう「マイナス１乗」がどのような演算なのか「あなたが」明確にしてください.

お礼

> 何ら説明することなく「-1乗」とかいたら, それは (情報に関する) 逆元を表します.

それがあなたの思い込みでないとしたら、根拠が示せるのではないですか？

a が０でないとすれば、a^(-1) は逆元を表し、a^0 は単位元を表します。
ところが a が０ならば、a^0 が単位元でないのは既知の事実です。
だったら、0^(-1) が逆元を表すかどうかも怪しくなりませんか？

> あなたのいう「マイナス１乗」がどのような演算なのか「あなたが」明確にしてください.

私は、あなたの思い込みがどうやって生じたのかの方により興味があります。

回答ありがとうございました。

回答No.2

ask-it-aurora

使うことばの意味をハッキリさせてから説明をしましょう. (内容はNo.1にあるsunflower-sanさんの回答と同じです.)

* 0 とはすべての x に対して 0 + x = x = x + 0 をみたすもので 0 ≠ 1 (加法単位元).
* 1 とはすべての x に対して 1x = x = x1 をみたすもので 0 ≠ 1 (乗法単位元).
* x^(-1) とは x x^(-1) = 1 = x^(-1) x をみたすもの (逆元).
* (a + b)c = ac + bc, a(b + c) = ab + ac (分配律)
* a + b = a + c ならば b = c (簡約律)

以上を認めた場合, 逆元 0^(-1) は存在しないことを示しましょう.

まずは 0 についての基本的な性質 0x = 0 = x0 を示します. 0 の定義と分配律から
0x + 0x = (0 + 0)x = 0x = 0x + 0
となるので簡約律より 0x = 0 が示せます. 同様に 0 = 0x も示せます.

本題に入ります. もし逆元 0^(-1) が存在すれば定義から
0 0^(-1) = 1 = 0^(-1) 0
となりますが, 直前に示したことから
0 0^(-1) = 0 = 0^(-1) 0
も成り立ちます. したがって 0 = 1 です. がこれは 0 ≠ 1 に矛盾します. したがって最初に掲げた条件を満たすならば 0^(-1) は存在しません.

## もちろんこれは"普通"の規則を認めると 0^(-1) は許されないと言っているだけです. もし誰かが世界中の人を納得させるような素晴らしい解釈(公理)を見つければその限りではありません.
## 普通は簡約律は他の性質から導きますが, ここでははじめから認めました.

お礼

> 本題に入ります. もし逆元 0^(-1) が存在すれば定義から
> 0 0^(-1) = 1 = 0^(-1) 0
> となりますが,

この式はおかしくないですか？
指数法則によると a^1*a*(-1)=a^0 となりますが、ご存知のように 0^0 は未定義です。
まるで 0^0=1 という定義を使っているように私には見えますが。

それとも、a^(-1) が逆数を表すことは、べき乗の定義や指数法則に因らない決まりなのでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.1

sunflower-san

0は可逆元でないので0^(-1)は定義されません。

a^(-1)とはそもそも
a×b=1となるbのことですが、

0^(-1)が存在すると仮定すると
0×b=1となるbが存在することになります。

一方、あらゆるxについて
0×x=0というのが0の性質であったので
0×b=0

これより0=1となり矛盾が導かれます。つまり仮定「0^(-1)が存在する」が間違っていることが分かります。

お礼

> 0は可逆元でないので0^(-1)は定義されません。

私の質問は、0^(-1)が未定義かどうかではありません。

> a^(-1)とはそもそも
> a×b=1となるbのことですが、

この部分が0^(-1)が何かという問いの答えだと思いますが、根拠を教えてください。

回答ありがとうございました。