整数問題

質問

次の問題の解き方が分からなくて困っています。

整数a,b,cがa<b<cおよびa+b+c=0を満たす。
aが-6<a<0の範囲を動くとき、
積abcの最小値を求めよ。

どなたか分かりやすい解説よろしくお願いします(>_<)

回答No.1

f272 · ベストアンサー

a，b，cは足して0だから
(1) a，b，cが負，負，正
(2) a，b，cが負，0，正
(3) a，b，cが負，正，正
のパターンしかなくて，abcの最小値は(3)のパターンが実際に存在すればそれだろう。
a=-5
a=-4
a=-3
a=-2
a=-1
の場合にb，cとして取りうる値は何？（a，b，cは足して0だよ）
以下省略

お礼

解説ありがとうございました！
1番早く回答してくださったので、ベストアンサーにします。

回答No.4

ereserve67

(1)c=-a-b

をa<b<cに代入すると

a<b<-a-b

すなわち

(2)a<b<-a/2

aを固定したときbがこの範囲を動くとき

abc=ab(-a-b)

=-a(b^2+ab+a^2/4-a^2/4)

（☆）abc=-a(b+a/2)^2+a^3/4

を最小にする．これはbの2次関数で，

b^2の係数-a>0，軸：b=-a/2

であるから☆は(2)の範囲で単調減少し，bが-a/2に近いほどabcは小さくなる．

（ア）a=-5,-3,-1のとき

☆はb=-a/2-1/2=(-a-1)/2((1)よりc=-a-b=(-a+1)/2）のとき最小値

abc=a(a^2-1)/4=-30(a=-5),-6(a=-3),0(a=-1)

をとる．

（イ）a=-4,-2のとき

☆はb=-a/2-1=(-a-2)/2（(1)よりc=-a-b=(-a+2)/2）のとき最小値

abc=a(a^2-4)/4=-12(a=-4),0(a=-2)

をとる．

（ア），（イ）よりa=-5,b=2,c=3のとき最小値abc=-30をとります．

お礼

解説ありがとうございました！！
色々な解き方があるんですね！

回答No.3

gutti009

No.2のものです。計算間違いしてたので直しておきます。

[間違い]
(3)≧-(2n-1)(-n+1)^2-(2n-1)^2(-n+1)
　 =2n^3-3n^2+4n……(6)
n=0のとき，(6)=0
n=-1のとき，(6)=-9
n=-2のとき，(6)=-36
以上より，abcの最小値は-36

[正解]
(3)≧-(2n-1)(-n+1)^2-(2n-1)^2(-n+1)
　　=(2n-1)(n^2-n)……(6)
n=0のとき，(6)=0
n=-1のとき，(6)=-6
n=-2のとき，(6)=-30
以上より，abcの最小値は-30

わざわざこのように解かなくてもf272さんのように数え上げてやったほうが速いですね。

お礼

訂正までして下さってありがとうございます(>_<)
色々な解き方が分かって嬉しいです。
ありがとうございました！

回答No.2

gutti009

もっと楽に解ける方法があるのかもしれませんが，参考にしてください。間違っていたらすいません。
a+b+c=0よりb=-a-c……(1)
これをa<b<cに代入して
a<-a-c<c
これより
-a/2<c<-2a…(2)
abc=-(a+c)ac ((1)を代入して文字bを消去)
　　=-ac^2-a^2c　……(3)
　　=-a(c+a/2)^2+a^3/4 (aを固定し，cの2次関数と見る)　……(4)
(4)において-6<a<0より-a>0であり，c>-a/2で単調増加な関数となる。
ここで
・a=2m(m=-1，-2)のとき，
(4)は軸c=-mにもっとも近い整数：c=-m+1で最小となる。
このとき，
(3)≧-2m(-m+1)^2-(2m)^2(-m+1)
　 =2m^3-2m……(5)
m=-1のとき，(5)=0
m=-2のとき，(5)=-12
・a=2n-1(n=0，-1，-2)のとき，
(4)は軸：c=-n+1/2にもっとも近い整数：c=-n+1で最小となる。
このとき，
(3)≧-(2n-1)(-n+1)^2-(2n-1)^2(-n+1)
　 =2n^3-3n^2+4n……(6)
n=0のとき，(6)=0
n=-1のとき，(6)=-9
n=-2のとき，(6)=-36
以上より，abcの最小値は-36

お礼

解説ありがとうございました！