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高校数学の整数問題です。
正の整数a、b、c はすべて1と異なり、どの2つとも等しくなく 2abc = 2a + 5b + 10c ……(1) であるとき、a、b、c の値を求めなさい。ただし、a、b、c の中では c を最大数とします。 a≧3 かつ b≧3 とすると 左辺 = 2abc ≧ 2*3*3c = 18c 右辺については a = b = c ⇒ 2a + 5b + 10c = 2c + 5c + 10c = 17c だが、実際には a < c、b < c なのだから 右辺≦17c なので(1)を満たす解は存在しない。 a = 2 または b = 2 のときをそれぞれ確認する。 ⅰ)a = 2 の場合 4bc = 4 + 5b + 10c 4bc - 5b - 10c = b(4c-5) + 10c = 4 ……(2) (2) にb = 3, c = 4を代入すると 3(16-5) + 40 = 73 不適 ここで行き詰まりました。まさかこんなことを延々と繰り返すわけにはいきません。 こんなときはどうすればいいのでしょうか？
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2abc=2a+5b+10cからbが偶数であることは明らかで，aは与えられた条件から2以上になる。 2abc=2a+5b+10c<2c+5c+10c=17cからabは8以下であるので a=2，b=4 a=3，b=2 a=4，b=2 のいづれかしかありえません。それぞれ2abc=2a+5b+10cに代入すれば16c=24+10c，12c=16+10c，16c=18+10cとなりcについて解けばc=4，c=8，c=3である。cが最大数となるのは a=3，b=2，c=8
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すばやい回答まことにありがとうございました。 鮮やかなものですねえ！！