数学の問題です

質問

1～9までのカードがあり、Aさんは4枚選んで⬜︎⬜︎×⬜︎⬜︎=⬜︎⬜︎⬜︎⬜︎の左辺に並べ、Bさんも4枚選んで右辺に並べる。出来上がった等式の間には確かに等号が成り立ち、4枚の整数の組み合わせも全く同じだった。また、左辺の2
桁の整数の一方の一の位の数と右辺の整数の千の位は1だった。こと時、できた等式として考えられるものを左辺の2桁の整数の入れ替えを考えないものとして、2通り答えなさい。
この問題を教えてください！

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

35×41=41×35=1435
21×87=87×21=1827

a1×bc=1abc
または
a1×bc=1bac

a1×bc=1abc
の時
(10a+1)(10b+c)=1000+100a+10b+c
10(10ab+ac+b)+c=10(100+10a+b)+c
10ab+ac+b=100+10a+b
10ab+ac=100+10a
10ab+ac-10a=100
a(10b+c-10)=100
a=2の時
10b+c-10=50
10b+c=60
c=0
となってc>0に矛盾するからa≠2
a=5の時
10b+c-10=20
10b+c=30
c=0となってc>0に矛盾するからa≠5
a=4
10b+c-10=25
10b+c=35
b=3
c=5
∴
41×35=1435

a1×bc=1bac
の時
(10a+1)(10b+c)=1000+100b+10a+c
10(10ab+ac+b)+c=10(100+10b+a)+c
10(10ab+ac+b)=10(100+10b+a)
10ab+ac+b=100+10b+a
10ab+ac+b=100+10b+a
10ab+ac=100+9b+a
a(10b+c-1)=100+9b
a(10b+c-1)=3(3b+33)+1
だから
aは3の倍数でない
a=2,or,4,or,5,or,7,or,8
10ab+ac+b=100+10b+a<199
10ab<199
ab<19
a(10b+c-1)-100=9b
aを4の倍数だと仮定するとb
bも4の倍数でa≠bだから
ab=4*8=32>19となってab<19に矛盾するから
aは4の倍数でない
a=2,or,5,or,7
a=5と仮定すると
bは5の倍数
b=5となって
a≠bに矛盾するから
a≠5
a=2,or,7
a=7と仮定すると
ab=7b<19だから
b=2
7(10b+c-1)=118=7*16+6
左辺7の倍数と右辺≠7の倍数でない
が矛盾するから
a≠7
a=2
2(10b+c-51)=9b
11b=2(51-c)
だからbは2の倍数
c<10
82=2*41=2(51-10)<2(51-c)=11b
7.4<82/11<b
bは2の倍数だから
b=8
88=2(51-c)
44=51-c
c=51-44=7
∴
21×87=1827

回答No.4

staratras

虫食い算として考えれば、比較的簡単でしょう。題意からA,B,Cは同じ数字(1から9までのいずれか）で、赤い数字は必然的にこうなるという数字です。

(1)の場合、繰り上がりがなければ、注にはC-Aが入りその左の数字はAですが、このときBC=C-A　つまりA=C(1-B)≦0　で不適です。

繰り上がりがあれば、注には10+C-Aが入りその左側はA-1です。
このときAC=10+A-2　つまりA(C-1)=8 となり（A,C-1)=(8,1)(4,2)(2,4)(1,8)となりますが、
このうち題意を満たすのは、（A,C-1)=(8,1)すなわちA=8,C=2で、
このとき(80+B)×21=1820+B　となりこれを解いてB=7　です。87×21=1827

(2)の場合、すべて繰り上がりがないのでBCは10の倍数ですが、一桁の整数同士の積が10の倍数となるのは、片方が5でもう片方が偶数(2,4,6,8)の場合だけです。
したがってB=5でC=2,4,6,8 かC=5でB=2,4,6,8のいずれかですが、
（10A+B)×10C=1000+100C　…（＃）からC=5 と仮定して代入すれば
50(10A+B)=1500 すなわち10A+B=30 からB=10(3-A) となりB≦0またはB≧10で不適
したがってB=5 これを ＃式に代入すればC(2A-1)=20
2A-1は奇数だから(C,(2A-1))=(4,5) つまりC=4,A=3　　35×41=1435

回答No.2

staratras

21×87＝1827
41×35＝1435

2桁の整数の片方の候補は21,31,41,51,61,71,81,91の8つのみ。
右辺の掛けた積の千の位が1という条件から、例えば左辺の片方が21の場合、他方の候補は、21×48＝1008からまで21×95＝1995、すなわち48から95までであり、他の場合も同様に他方の候補の範囲が定まる。
これらの候補の中から、題意を満たすものは冒頭に挙げた2組。

上の解き方は極めて手間がかかるので、もっと「虫食い算」的な効率的な解法がないか、もう少し考えてみます。

回答No.1

muturajcp

35×41=41×35=1435
21×87=87×21=1827

(10a+1)(10b+c)=1000+100x+10y+c
100ab+10(ac+b)=1000+100x+10y
10ab+ac+b=100+10x+y

10ab+ac+b=100+10a+b
または
10ab+ac+b=100+10b+a

10ab+ac+b=100+10a+bの時
10ab+ac=100+10a
10ab+ac-10a=100
a(10b+c-10)=100
a=2の時10b+c-10=50→10b+c=60→c=0となってc>0に矛盾するからa≠2
a=5の時10b+c-10=20→10b+c=30→c=0となってc>0に矛盾するからa≠5
a=4
10b+c-10=25
10b+c=35
b=3
c=5
∴
41×35=1435

補足

10ab+ac+b=100+10b+aの場合、
a(10b+c-1)-9b=100と変形できると思うのですが、aに何を入れてもおかしくなってしまいます。
10ab+ac+b=100+10b+aの場合の考え方も教えていただきたいです！