力学です。大学のテストなんですが

質問

質量ｍの物体がぶら下がっている。
そこに質量２ｍの物体を水平方向から衝突させる。
次の問いに答えよ。

　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　｜
　　○→　　　○

１．弾性衝突するとき衝突直後の振り子の速さと振り子が降りあがる最高の高さを求めよ
２．衝突後２つの質点がくっついてしまうとき衝突直後の振り子の速さと振り子の速さと振り子の最高の高さを求めよ

詳しく解説してくださると助かります
図を描いてみたんですが失敗していたらすいません、気にしないでください

回答No.1

Quarks · ベストアンサー

どちらの場合も、次の２つの保存則を利用して解くのが一般的な解法となるでしょう。

(ア)衝突直後の振り子のオモリの速さを求めるために、運動量保存則を適用します。
２つの物体（振り子のオモリをＡ，これにぶつかってくる物体をＢと呼ぶことにします）に作用している力は、
　衝突の間、（接触しているために）互いに相手を押し合っている力Ｆ
　重力Ｗ
　Ａに作用する、糸の張力Ｔ
の３種類です。
衝突の直前～直後の期間に限定すると、Ａ，Ｂを１つのまとまりとして見てみると、力Ｆは、いわゆる"内力"と呼ばれる力と見なせますから、この力が働いても系の運動量は変化しません（運動量保存則は、作用反作用の法則の別表現です。内力は、作用反作用の法則に従う２つ１組の力なのですから、内力が働いていても、運動量保存則は必ず成立します）。
問題は、重力や張力（こちらは、"外力"として作用します）が働いているのに、運動量が保存するかどうかです。
ここで、衝突の直前～直後の期間に限定してみれば、問題の設定から、Ａ，Ｂの運動は水平方向になっていることがわかります。つまり、重力や張力の方向とは直交する方向に運動しているのです。
ゆえに、ＷやＴは、水平方向の運動量を変化させる作用は無いと判断して良いことになります。
∴衝突の直前直後に限定すれば、系の運動量は保存されると考えて良いのです。

(イ)振り子が振れ始めた後は、力学的エネルギー保存則を利用して、最高点の高さを調べます。
　衝突後、オモリに作用している力は、重力Ｗと、糸の張力Ｔです。
重力は"保存力"と飛ばれる力の一種ですが、保存力が仕事をしたとしても、力学的エネルギーは一定に保たれることが保証されます（と言うより、その力が仕事をしても、力学的エネルギーが保存されるとき、その力を保存力と呼ぶのです）。
一方、張力Ｔは、保存力ではありませんが、振り子の場合、糸が緩まない限り、オモリの進行方向（変位の方向）と、張力の方向は常に直交しています。
このことから、振り子の場合、張力は仕事をしていないことを意味します（もし、糸が緩んでしまったら、糸の張力＝０ですから、当然のこと、その場合も仕事も０です）。
∴振り子が重力と張力だけを受けて運動している間、系の力学的エネルギーは一定に保たれることが保証されます。
力学的エネルギーは、運動エネルギーと位置エネルギーとの和ですが、今の場合、保存力として働いているのは重力だけですから、位置エネルギーとしては重力による位置エネルギーだけを考えれば良いのです。

問題１．Ａ，Ｂが完全弾性衝突する場合。
質問文には書かれていませんが、Ｂは、速さｖで水平方向の向きを持った速度で、Ａにぶつかったとしておきます。
Ｂが速度ｖで、静止していたＡにぶつかった場合、衝突後のＡの速度をＶ，Ｂの速度をｖ'とすると、運動量保存則より
　２ｍ・ｖ＋ｍ・０＝２ｍ・ｖ'＋ｍ・Ｖ
また、完全弾性衝突の場合、
　反発係数ｅ（＝(Ｖ－ｖ')/(ｖ－０))＝１
が成り立ちます。
これら２式を連立方程式として解けば、Ｖが求まります。（ｖ'を消去してやれば良いだけです）

衝突後Ａは、速度Ｖで動き始めますが、オモリの位置が高くなるに従って、だんだん遅くなり、最高点に達したときに、速さは最も遅くなります。もし、糸の長さが十分であれば、そのとき、オモリは一瞬静止します（問題文には書かれていませんが、糸の長さは十分に長いものとしてあることでしょう）。
オモリが、最下端からＨだけ高い位置で静止したものとすると、力学的エネルギー保存則より
　(1/2)２ｍ・Ｖ^2＝２ｍ・ｇ・Ｈ
が成り立ちますから
　Ｈ＝…
となります。

問題２．Ａ，Ｂが完全非弾性衝突する場合。
運動量保存則より
　２ｍ・ｖ＝(２ｍ＋ｍ)・Ｖ
∴Ｖ＝…
力学的エネルギー保存則より
　(1/2)・(２ｍ＋ｍ)・Ｖ^2＝(２ｍ＋ｍ)・ｇ・Ｈ
∴Ｈ＝…

お礼

忙しくて回答締切するの遅れてしまいました
すいません
詳しい解説ありがとうございました
今後も機会があればおねがいします（^人^）