物理の「弾性衝突」に関する問題です。

質問

物理の「弾性衝突」に関する問題です。

以下問題文です。

　静止している物体Bに，速さ10m/sで運動する物体Aが
　図のように衝突した。
　物体A，Bの質量はそれぞれ2kg，3kgで弾性衝突だった。
　衝突後の物体A，Bの速さを求めよ。

一般的な解法である運動量保存則を水平方向，垂直方向に適用するも
衝突後の方向がつかめず立式に至りません。

どなたかお知恵を賜れる方宜しくお願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

衝突の前の速度、衝突の起こった時の位置関係、衝突する２つの物体の質量、が分かっています。
弾性衝突であるということでエネルギーが保存されるということも分かっています。
衝突後の運動は完全に決まります。
衝突後の運動について、何かを仮定しなければいけないということはありません。
＃１の補足
＞Ｂの飛ぶ方向を水平方向から６０°で進むと考えました。
６０°という結果は導いたものではありません。
そういう回答を書けばＸがつきます。

＞一般的な解法である運動量保存則を水平方向，垂直方向に適用するも
　衝突後の方向がつかめず立式に至りません。

２次元衝突は質点では起こりません。大きさのある物体を考えているからこそ衝突の位置関係が問題になるのです。
位置関係に関係する情報が衝突の結果にひびいて来るはずです。
運動量保存則をただ２つの方向の成分で考えても出てきません。
Ａ、Ｂの速度をＵ，Ｖとします。変数は　Ｕｘ、Ｕｙ，Ｖｘ，Ｖｙ　の４つです。運動量保存則で２つ、エネルギー保存則で１つです。もうひとつ条件式が必要です。
それが衝突の位置関係からきます。運動量保存則が１歩突っ込んだ形になるのです。

衝突によって速度が変わるのは２つの物体の間で力が働くからです。
力の働く方向に速度が変わります。
２体衝突でエネルギーが保存する場合、力は接触面に垂直な方向に働きます。
接触面に平行な力の成分がある場合はエネルギーが保存しません。

２つの球が衝突する場合、接触面に垂直な方向は中心を結ぶ方向です。
このような考察から「速度変化は中心線の方向に起こる」という結果が出てきます。
これを踏まえて速度を成分で表します。
接触面に平行な方向をｘ、それに垂直な方向をｙとします。
力の働いていない方向には速度変化が起こりません。
Ｕｘ＝Ｕｏｘ＝１０ｃｏｓ３０°
Ｖｘ＝Ｖｏｘ＝０
力の働いている方向には速度変化が生じます。
２Ｕｙ＋３Ｖｙ＝２Ｕｏｙ＋３Ｖｏｙ＝２０ｓｉｎ３０°
（式が３つになりました。衝突の位置関係とエネルギーが保存するということから式が１つ増えたのです。）

弾性衝突であるということでエネルギー保存則を使います。
これはｙ方向の成分について反発係数＝１の式を使ってもかまいません。
同じ結果が出てきます。

お礼

htms42さん，ご回答ありがとうございます。

＞運動量保存則をただ２つの方向の成分で考えても出てきません。

ご指摘の通りで，浅はかでした。
衝突後の運動を蔑ろにしていました。

改めて接触面（衝突面と同等でしょうか？）を基準として
置換してみるとお教え頂いた式が発見できました。

ただ，変数が4つで式が3つで明らかになるでしょうか。

私の見落としている点が他にもあるかもしれませんが，
再度ご指導願えるでしょうか。

何卒，宜しくお願いします。

回答No.3

htms42

運動量保存則で式が３つになっています。
普通なら２つにしかならないのですが速度変化は衝突面に垂直な方向で起こる、平行な方向では速度変化が起こらないという新たな条件が付け加わったのです。

元々のエネルギー保存の式を入れて式は４つになります。
エネルギー保存の式の代わりに衝突面に垂直な方向での反発係数の式を使ってもかまわないと書きました。

弾性衝突、エネルギーが保存する衝突という条件が２つの場所で使われています。
（１）弾性衝突であれば衝突面に垂直な方向にしか力が働かない
（２）エネルギー保存の式を使うことができる

（１）を使ったから（２）はいらないというのではありません。

*　問題によっては弾性衝突であるという条件とともに「衝突の際に働く力は衝突面に垂直である」と書かれている場合があります。
この回答で示したのはこういう注がなくても「弾性衝突である」と書かれていれば「衝突の際に働く力は衝突面に垂直である」と考えていいということです。
でもいきなり、Ｂは中心線の方向に飛び出すと書くのではなくて一言断りがいるでしょう。
こういうことを意識していないとＢも動いている場合の衝突の問題は解くことができなくなります。

お礼

htms42さん，度重なるご回答ありがとうございます。

私の行間をつかむ力不足から混乱を引き起こしていました。
申し訳ありませんでした。

それでは，ご指摘の（２）を適用すると，以下の式が
導出されるとして宜しいでしょうか。

　{(2Uy^2)/2}+{(3Vy^2)/2}
={(2U0y^2)/2}+{(3V0y^2)/2}
={2*100*(sin30)^2}/2

恐縮ですが再度ご指導の程宜しくお願いします。

回答No.1

sanori

こんにちは。
ヒントだけ。

この問題のキーポイントは、
衝突後にＢが飛ぶ方向が、衝突した瞬間のＡの中心とＢの中心とを結ぶ線の方向になるということです。
（ビリヤードをする人だと知っていますが）

それを端緒にして考えてみてください。

お礼

sanoriさん，ご回答ありがとうございます。

解法の動機を参考にしたところ，
Bの飛ぶ方向を水平方向から60°で進むと
考えました。

これを踏まえて運動量保存則を水平方向と垂直方向に分け
衝突後のBの速さを求めたところ
　10/3
と導かれました。

恐縮ですがご指摘並びに
詳解ほどこして頂けるでしょうか。
宜しくお願いします。