大学数学について

質問

大学数学について
現在大学院で数学科を専攻しているものです。
下の３次方程式をシピオーネ デル フェッロの方法で解いたのですが、解答が合いません
そこでみなさんに解いていただきたいのです。

私と同じシピオーネデルフェッロの方法で解いてください。
途中の式も書いていただきたいです（どこで間違ったか知りたいため）
よろしくおねがいします。
１、x^3+6x-20=0

2,x^3+6x^2+8x=10000

回答No.1

alice_44

大学院では、数学史を専攻しておられるのだろうか？
フェッロの解法については、少し調べてみたが見つからなかった。
私も興味があるので、その解法を補足に書いていただけると
ありがたい。逆質問で恐縮だが、できれば宜しく。
確か、フェッロ自身は文献を発表していないはずだが、
遺族がカルダノに見せたというノートか何かが残されているのかも。
フェッロの解法を引き継いだと見られるフィオールが、計算試合で
タルターリャに負けた理由を考えると、フェッロの解法では
二次項のある x^3+6x^2+8x=10000 は解けなかったと思われるが…

質問の二題を、一応、カルダノ・フェラーリの解法で解いておく。

x^3+6x-20=0.
x=u+v と置くと、(u^3+v^3-20)+3x(uv+2)=0 と変形でき、
u^3+v^3=20, uv=-2 であれば十分なことが判る。
解と係数の関係より z=u^3, v^3 が z^2-20z+(-2)^3=0 の解
であることから、u^3, v^3=10±6√3。
uv=-2 と併せて、(u,v)=(a,b), (aω,bω^2), (aω^2,bω) ただし
a=立方根(10+6√3), b=-立方根(-10+6√3), ω=(-1+i√3)/2。
よって、x=2, -1+3i, -1-3i。最終の整理には、a=1+√3 を使った。
原式を因数分解すれば、他に解がないことも判る。

x^3+6x^2+8x=10000.
x+(6/3)=y と置くと y^3-4y-10000=0、
更に y=u+v と置くと (u^3+v^3-10000)+y(3uv-4)=0 と変形でき、
u^3+v^3=10000, uv=4/3 であれば十分なことが判る。
解と係数の関係より z=u^3, v^3 が z^2-10000z+(4/3)^3=0 の解
であることから、u^3, v^3=5000±(8/9)√31640622。
uv=4/3 と併せて、(u,v)=(a,b), (Aω,Bω^2), (Aω^2,Bω) ただし
A=立方根(5000+(8/9)√31640622), B=立方根(5000-(8/9)√31640622)。
x=-2+A+B, -2+Aω+Bω^2, -2+Aω^2+Bω。
一題目の a=1+√3 のような簡約を思いつかないので、このままとする。
ニュートン法によると、近似値は -2+A+B≒19.60623 程度。