重積分の計算

質問

【問題】∬D　1/(x^2+y^2)^m/2　dxdy　D：0＜a^2≦x^2+y^2≦b^2

m≠２とm＝２で場合分けをした場合、m＝２は解けるのですがm≠２の時の計算をどのように進めれば良いかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x=rcosθ, y=sinθ(0≦r,-π≦θ≦π)とおくと

D:{(x,y)|0＜a^2≦x^2+y^2≦b^2} ⇒　E:{(r,θ)| a≦r≦b,-π≦θ≦π}
I=∬_D 1/(x^2+y^2)^(m/2) dxdy
=∬_E 1/r^m |J|drdθ=∬_E 1/r^m rdrdθ=∬_E 1/r^(m-1) drdθ
=∫[-π→π]dθ∫[a→b] 1/r^(m-1) dr
=2π∫[a→b] 1/r^(m-1) dr

mをゼロ以上の整数としておきます。

m=0の時
I=∬_D 1 dxdy=π(b^2-a^2)

m=1の時
I=2π(b-a)

m=2の時
I=2π∫[a→b] 1/r dr=2πln(b/a)

m≧3の時
I=2π∫[a→b] r^(1-m) dr
=2π[r^(2-m)/(2-m)][a→b]
={2π/(m-2)}{1/a^(m-2) -1/b^(m-2)}

お礼

ご回答ありがとうございます。
なかなか頭がまわらず、1/r^m rを1/r^(m-1)にする考えが出ずに困っていました。
mの値も細かく見ていくとそのようになるのですね。
ありがとうございました。