すべて、ある、について

質問

「すべて」の否定が「ある」、
「ある」の否定が「すべて」、
であるということが全くわかりません。フィーリングなんでしょうか？

おねがいします。

回答No.6

itshowsun · ベストアンサー

おそらく言葉の問題でしょう。
そこで、言葉の意味を確認します。
すべて　→　∀　(all) これは問題なし
ある　　→　∃ (exist)　これは正確には「少なくとも一つある」という意味
よって、命題論理で考えると
A =「すべてのカラスは黒い」
この否定は
￢A = 「すべてのカラスは黒いということは真ではない」
　　= 「少なくとも一羽の（ある）カラスは黒くない」
が同じ意味となります。
また、
「すべてのカラスは黒くない」
は全否定と言って、この否定は、
B = 「すべてのカラスは黒くないということは真ではない」
　= 「少なくとも一羽の（ある）カラスは黒い」
すなわち、
￢B = 「すべてのカラスは黒くない」
となります。
上を述語論理で考えると
P(x) = 「ｘは黒い」
A = ∀xP(x)　「すべての x は黒い」
￢A = ￢∀xP(x) = ∃x￢P(x) = 「あるｘは黒くない」
B = ∃xP(x) 「あるxは黒い」
￢B = ￢∃xP(x) = ∀x￢P(x) 「すべてのｘは黒くない」
となります。
次のことは心に留めて置いてください：
「すべての～は・・・である」の否定は「ある～は・・・ない」
「ある～は・・・である」の否定は「すべての～は・・・ない」
つまり、「すべて」の否定は「ある」ではなく、
「ある」の否定は「すべて」ではない。