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「すべての」と「ある」の否定
学校の授業で、「すべての」と「ある」の否定について習ったのですが、 よく分かりません。 最初の方は分かったのですが、応用として、 「∀x(pかつq)」の否定⇔∃x(pでないまたはqでない) 「∀x(p⇒q)」の否定⇔∃x(pかつqでない) と習ったときにはさっぱり分かりませんでした。 どなたか細かく教えていただけないでしょうか?
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>「∀x(pかつq)」の否定⇔∃x(pでないまたはqでない) 「∀x(pかつq)」の否定は、∃x{(pかつq)の否定} です。 (pかつq)の否定は、(pでない またはqでない)なので、 ⇔∃x(pでないまたはqでない) 「∀x(p⇒q)」の否定⇔∃x(pかつqでない) 「∀x(p⇒q)」の否定は、∃x{(p⇒q)の否定}です。 (p⇒q)は、 (pでないまたはq)と同値(真理表が同じ)なので、 (p⇒q)の否定は、(pかつqでない) なので、 ⇔∃x(pかつqでない) でどうでしょうか?
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- Caper
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● より簡単な例に、まず、取り組んでみてはいかがでしょうか。 ● 例えば、全体集合 (= 普遍集合 ) を、いま、自然数全体の集合と定めることにします。言い換えれば、変数 x の変域を、いま、自然数全体の集合と定めることにします。自然数全体の集合は、{1, 2, 3, … } と表記されることが多々あります。 そこで、次の 2つ の命題に取り組みます。 1) すべての x について、x の 2乗 は 0 より大きい。 ∀x ((x の 2乗) > 0) 2) ある x について、x の 2乗 は 0 より大きい。 ∃x ((x の 2乗) > 0) いま、((x の 2乗) > 0) を p(x) と置くことにします。言い換えれば、p(x) = ((x の 2乗) > 0) とします。このとき、1) 2) は、次のとおりに表記することもできます。 1) ∀x (p(x)) 2) ∃x (p(x)) ●「 かつ 」を表わす記号として、∧ を用いることにします。「 または 」を表わす記号として、∨ を用いることにします。 このとき、1) 2) は、次のとおりに書き改めることができます。 1) p(1)∧p(2)∧p(3)∧ … 別の書きかたをすれば、 ((1 の 2乗) > 0)∧((2 の 2乗) > 0)∧((3 の 2乗) > 0)∧ … 2) p(1)∨p(2)∨p(3)∨ … 別の書きかたをすれば、 ((1 の 2乗) > 0)∨((2 の 2乗) > 0)∨((3 の 2乗) > 0)∨ … ● このとき、1) 2) のそれぞれの否定が次のとおりであることは、もうおわかりになりますよね。( ド・モルガンの法則 ) ≡ は「 同値 」を表わす記号です。 1) の否定 ≡ (∀x(p(x))) の否定 ≡ (p(1)∧p(2)∧p(3)∧ …) の否定 ≡ (p(1) の否定)∨(p(2) の否定)∨(p(3) の否定)∨ … ≡ ∃x(p(x) の否定) 2) の否定 ≡ (∃x(p(x))) の否定 ≡ (p(1)∨p(2)∨p(3)∨ …) の否定 ≡ (p(1) の否定)∧(p(2) の否定)∧(p(3) の否定)∧ … ≡ ∀x(p(x) の否定) ● 以上のことを、念頭に置いた上で、ANo.2 における ferien さん のご回答をお読みください。 ● 私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。 また、理解しづらい個所がございましたら、[ 補足 ]欄 を利用するなどして、遠慮なくお知らせください。
お礼
丁寧なご回答、ありがとうございました。 よく分かりました。
- Tacosan
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その「最初の方」はどうなっているのですか?
お礼
解答ありがとうございます。 ∀xp(x)の否定⇔∃xp{(x)の否定}の所までは理解できました。
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お礼
丁寧なご回答、ありがとうございました。 よく分かりました。