08数Ｂ空間ベクトルの問題です。

質問

解説をお願いします。 空間に４点O,A,B,Cがあり、 三本の線分OA,AB,BCについて OA=AB=BC=1,OA ⊥AB,AB⊥BCが与えられている。 この四面体で体積が最大となる 四面体を考える 。 ↑OA・↑BC=□ だから体積は□/□ である。さ らに、頂点Bから平面OACに垂直な直線を引き 、その交点をHとすると、 │↑BH│=√□/□ であり、 ↑OH=↑OA+(□/□)*↑AB+ (□/□)*↑BC である。 □にあてはまる値を解説して下さい。よろしく お願いしますm(_ _)m

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

xyz空間座標をとり，図を描きながら考えて下さい．

四面体OABCをOA=1から

O：原点，A(1,0,0)

ととり，OA⊥AB，AB=1よりBはAをy軸方向に1だけ移動して

B(1,1,0)

ととります．BC=1とAB(y軸方向）⊥BCからCはBを中心にy軸に垂直な平面上の半径1の円

(x-1)^2+z^2=1,y=1

上にあることが分かります．だから，x=1+cosθ,z=sinθとして

C(1+cosθ,1,sinθ)

とおけます．Cを3点O,A,Bのあるxy平面(z=0)の上方(z>0)にとれば0<θ<πとなります．四面体OABCの体積V(θ)は

V(θ)=(1/3)△OAB(Cのz座標)

=(1/3)(1/2)1^2sinθ=(1/6)sinθ

これが最大になるのはθ=π/2のときでこのとき

V=1/6（答，2番目）,C(1,1,1)

となります．

OA=(1,0,0),BC=(0,0,1)

∴OA・BC=1・0+0^2+0・1=0（答，1番目）

3点O，A，Cを通る平面はx軸方向からこの3点をみるとyz平面でOとAは重なって(0,0)と見えて，Cは(1,1)と見えます．この2点を通るyz平面上の直線の方程式y=zが平面の方程式です．したがって，H(s,t,t)とおくことができ，

BH=(s-1,t-1,t)

がOA=(1,0,0),OC=(1,1,1)に垂直だから，

OA・BH=s-1=0

OC・BH=s-1+t-1+t=s+2t-2=0

∴s=1,t=1/2：H(1,1/2,1/2)

∴BH=(0,-1/2,1/2)∴|BH|=√(1/4+1/4)=√2/2（答）

∴AH=(0,1/2,1/2)=(1/2)(0,1,0)+(1/2)(0,0,1)

ここでAB=(0,1,0),BC=(0,0,1),AH=OH-OAより

OH=OA+(1/2)AB+(1/2)BC（答）