積分の問題です。

質問

p,qは区間a<=x<=b(0<a<b)でpx+q>=logxを満たすものとする。このとき、
定積分Ｉ＝∫（a→b)（px+q-logx)dxが最小となるようなpおよびqの値を求めよ。また、そのときのＩの値を求めよ。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1より
I=∫(a→b)（px+q-logx)dx=[px^2/2+qx](a→b)-∫(a→b)1*logxdx
=(p/2)(b^2-a^2)+(q+1)(b-a)+aloga-blogb
=H(p,q)

f(x)=px+q-log(x)
f'(x)=p-1/x
f'(x)=0の時 x=1/p

[1]p≧1/aの時 f(x)の最小値f(a)=pa+q-log(a)≧0
[2]1/b<p<1/aの時 f(x)の最小値f(1/p)=1+q+log(p)≧0
[3]0<p≦1/bの時　f(x)の最小値g(b)=pb+q-log(b)≧0

[1],[2],[3]を纏めて(p,q)の存在領域を図示すると添付図のようになる。
この領域の(p,q)でのH(p,q)の最小値は
[2]の領域の1+q+log(p)=0の時、すなわち q=-1-log(p)の時の最小値であるから、
H(p,-1-log(p))=g(p)=(a-b)log(p)-(a^2-b^2)p/2-blog(b)+alog(a)
dg(p)/dp=(a-b)(1/p-(a+b)/2)
より
Iの最小値g(2/(a+b))=(b-a)log(e/2)+(b-a)log(a+b)-blog(b)+alog(a)
このときのp=2/(a+b),q=log(a+b)-log(2e)
となります。

【注】A#2の答えと一致します。

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．答には影響しませんが，M(p)について記述を強化しました．

px+q≧logx(a≦x≦b)となるためのp,qの満たす条件を求める．

f(x)=px+q-logx(a≦x≦b)の最小値が0以上であればよい．

f'(x)=p-1/x=p(x-1/p)/x

p≦0のときf'(x)<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
0<pのとき
（i）1/p<aのときx-1/p≧a-1/p>0,f'>0∴f(x)≧f(a)=pa+q-loga≧0
（ii）a≦1/p≦bのときx<1/pのときf'(x)<0,1/p<xのときf'(x)>0∴f(x)≧f(1/p)=q+1+logp≧0
（iii）b<1/pのときx-1/p≦b-1/p<0,f'<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0

つまり

・p<1/bのときq≧-bp+logb
・1/b≦p≦1/aのときq≧-logp-1
・1/a<pのときq≧-ap+loga

となる．

S(p,q)=∫_a^b(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx-xlogx+x]_a^b

=[px^2/2+(q+1)x-xlogx]_a^b

=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)

はqについて増加関数である．よって

・p<1/bのときS(p,q)≧S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときS(p,q)≧S(p,-logp-1)
・1/a<pのときS(p,q)≧S(p,-ap+loga)

ここでそれぞれの場合のS(p,q)の下限をM(p)とする：

・p<1/bのときM(p)=S(p,-bp+logb)=-p(b-a)^2/2-alog(b/a)+b-a
・1/b≦p≦1/aのときM(p)=S(p,-logp-1)=p(b^2-a^2)/2-(b-a)logp+aloga-blogb
・1/a<pのときM(p)=S(p,-ap+loga)=p(b-a)^2/2-blog(b/a)+b-a

M(p)は連続的微分可能であり，M(p)の最小値がIである．

・p<1/bのときdM(p)/dp=-(b-a)^2/a<0
・1/b<p<1/aのときdM(p)/dp=(b^2-a^2)/2-(b-a)/p={(b^2-a^2)/(2p)}{p-2/(a+b)}
・1/a<pのときdM(p)/dp=(b-a)^2/2>0

dM(p)/dpはp=1/b,1/aで連続である．

1/b<p<1/aのとき，a<(a+b)/2<bより1/b<2/(a+b)<1/aに注意すれば

・p<2/(a+b)のときdM(p)/dp<0
・p=2/(a+b)のときdM(p)/dp=0
・2/(a+b)<pのときdM(p)/dp>0

でありp=2/(a+b)のときM(p)は次の最小値をとる．

M(2/(a+b))=S(2/(a+b),-log{2/(a+b)}-1)

={2/(a+b)}(b^2-a^2)/2+(-log{2/(a+b)}-1+1)(b-a)-(blogb-aloga)

=b-a+(log{(a+b)/2})(b-a)-(blogb-aloga)

（答）p=2/(a+b),q=log{(a+b)/2}-1,I=(b-a)log{(a+b)/2}+b-a+aloga-blogb

回答No.2

ereserve67

px+q≧logx(a≦x≦b)となるためのp,qの満たす条件を求める．

f(x)=px+q-logx(a≦x≦b)の最小値が0以上であればよい．

f'(x)=p-1/x=p(x-1/p)/x

p≦0のときf'(x)<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0
0<pのとき
（i）1/p<aのときx-1/p≧a-1/p>0,f'>0∴f(x)≧f(a)=pa+q-loga≧0
（ii）a≦1/p≦bのときx<1/pのときf'(x)<0,1/p<xのときf'(x)>0∴f(x)≧f(1/p)=q+1+logp≧0
（iii）b<1/pのときx-1/p≦b-1/p<0,f'<0∴f(x)≧f(b)=pb+q-logb≧0

つまり

・p<1/bのときq≧-bp+logb
・1/b≦p≦1/aのときq≧-logp-1
・1/a<pのときq≧-ap+loga

となる．

S(p,q)=∫_a^b(px+q-logx)dx=[px^2/2+qx-xlogx+x]_a^b

=[px^2/2+(q+1)x-xlogx]_a^b

=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)

はqについて増加関数である．よって

・p<1/bのときS(p,q)≧S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときS(p,q)≧S(p,-logp-1)
・1/a<pのときS(p,q)≧S(p,-ap+loga)

ここでそれぞれの場合のS(p,q)の下限をM(p)とする：

・p<1/bのときM(p)=S(p,-bp+logb)
・1/b≦p≦1/aのときM(p)=S(p,-logp-1)
・1/a<pのときM(p)=S(p,-ap+loga)

M(p)は連続関数でp=1/b,1/a以外では微分可能である．M(p)の最小値がIである．

いずれの場合もM(p)は

M(p)=[S(p,q)=p(b^2-a^2)/2+(q+1)(b-a)-(blogb-aloga)においてqがpの関数]

の形をしているので，このpによる導関数は

dM(p)/dp=(b^2-a^2)/2+(b-a)dq/dp=(b-a){(a+b)/2+dq/dp}

となる．

・p<1/bのときdq/dp=d(-bp+logb)/dp=-b
・1/b<p<1/aのときdq/dp=d(-logp-1)/dp=-1/p
・1/a<pのときdq/dp=d(-ap+loga)/dp=-a

であるから，

・p<1/bのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-b}=-(b-a)^2/a<0
・1/b<p<1/aのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-1/p}={(b^2-a^2)/(2p)}(p-2/(a+b)}
・1/a<pのときdM(p)/dp=(b-a){(a+b)/2-a}=(b-a)^2/2>0

ここで1/b<p<1/aのとき，a<(a+b)/2<bより1/b<2/(a+b)<1/aであり
・p<2/(a+b)のときdM(p)/dp<0
・2/(a+b)<pのときdM(p)/dp>0

まとめると

・p<2/(a+b)のときM(p)は減少
・2/(a+b)<pのときM(p)は増加

でありp=2/(a+b)のときM(p)は次の最小値をとる．

M(2/(a+b))=S(2/(a+b),-log{2/(a+b)}-1)

={2/(a+b)}(b^2-a^2)/2+(-log{2/(a+b)}-1+1)(b-a)-(blogb-aloga)

=b-a+(log{(a+b)/2})(b-a)-(blogb-aloga)

（答）p=2/(a+b),q=log{(a+b)/2}-1,I=(b-a)log{(a+b)/2}+b-a+aloga-blogb

回答No.1

info22_

ヒント）
[方針]だけ

f(x)=px+q-log(x) (0<a<=x<=b)でf(x)の最小値g(p,q)を求め　g(p,q)≧0を満たす(p,q)の条件下で

H(p,q)=∫(a→b)（px+q-logx)dx=[px^2/2+qx](a→b)-∫(a→b)1*logxdx
=(p/2)(b^2-a^2)+q(b-a)-([xlogx](a→b)-∫(a→b)1dx)
=(p/2)(b^2-a^2)+q(b-a)-(blogb-aloga)+(b-a)
=(p/2)(b^2-a^2)+(q+1)(b-a)+aloga-blogb

が最小となる(p,q)を求めれば良い。

a,bが文字定数だと混乱するので、まず a,bに具体的な値を与えてやってみるといいかと思います。