積分

質問

不定積分の∫tanaxdxってどうなりますか？
xの前にあるaが邪魔なんです。
ちなみにa≠0です。

それから、定積分で…
∫(∫の右上に4、右下に3)(x-3)^5dx

∫(∫の右上1に、右下に0)dx/x+1

∫(∫の右上に2、右下に1)xlogxdx

∫(∫の右上にe、右下に1)(logx)^2dx

という問題があるのですが、∫の隣にちっちゃい数字があり、全くわかりません。

詳しく教えていただきたいです。
ヨロシクお願いします。

回答No.4

info22

>∫tan(ax)dxってどうなりますか
ax=tと置換積分すれば adx=dt　なので
∫tan(t)dt/a=(1/a)∫tan(t)dt
とtan(t)の積分になります
tan(t)=sin(t)/cos(t)=-(cos(x))'/cos(t)
なのでtan(t)の積分はこれでできたようなものです。
おわかり？

>れから、定積分で…
>∫(∫の右上に4、右下に3)(x-3)^5dx
∫[3→4] (x-3)^5 dx
と書けば良いです。
これは最も初歩の定積分ですから自分でやって見て下さい。

このような簡単な定積分は、高校の微積の教科書や参考書を復習されることをお勧めします。
質問は分かる範囲で途中計算を補足に書いた上で、分からない所を質問するようにして下さい。

>∫の隣にちっちゃい数字があり、全くわかりません。
下側が積分の範囲の下限、上側が積分の上限となります。

なお、他の定積分の式はこういったサイトなどでは以下のように書きます。

∫[0→1] 1/(x+1) dx

∫[1→2] xlog(x) dx

∫[1→e] (log(x))^2dx

などと通常、書きます。「→」は「,」(コンマ)で置き換えて書くこともあります。上のような書き方をすれば、回答者にとって分かりやすいかと思います。積分の上限と下限を取り違えるミスもなくなるでしょうね。

お礼

詳しいですね。
ありがとうございました

回答No.3

stead2009

まずtanxの積分はわかりますか？とりあえずaの効果は無視して普通に積分すると-log｜cos(ax)｜ですね。次にこれを微分してみましょう。合成関数の微分で(ax)'=a倍されてしまうはずです。
従って最初からaで割って置けばよいです。

インテグラルの横に数字が書いてあるものは「定積分」と呼ばれるものです。まず一度ご自分で調べて下さい。それでもわからなければ再度お答えします。

回答No.2

cametan_42

＞途中の式とかってわかりますか？

分かりません(笑)。全部コンピュータにやらせたので。

Maxima:
http://maxima.sourceforge.net/

と言うか、この程度の「計算法」だったら教科書に書いてなきゃおかしいです。
「置換積分法」辺りで教科書を調べるなり、検索するなりしてみて下さい。
僕はメンド臭いんで、コンピュータに解かせましたが、基本的に置換積分で変数変換すれば、難なく手計算でも解ける範囲でしょう。
まずは「自分で教科書なりWebなり調べる」のが大事ですよ。

回答No.1

cametan_42

integrate(tan(a*x), x) = log(sec(a*x))/a

integrate((x-3)^5, x, 4, 3) = -1/6

integrate(1/(x+1), x, 1, 0) = -log(2)

integrate(x*log(x), x, 2, 1) = 3/4-2*log(2)

integrate((log(x))^2, x, 1, %e) = %e-2

お礼

早速の回答ありがとうございます。
自分の計算と全く違ってましたf~~;
途中の式とかってわかりますか？