数列

質問

わからない部分は数列ではないのですが、↓

　Sn=n^2
　Tn=-(1/2)^2+6n+1　のとき、
　Sn<Tnをみたす最大の自然数ｎ

これを求めるにはやはりnに自然数を
１つ１つ代入していくのがよいのでしょうか？

回答No.3

birth11

Tn - Sn = - ( 1 / 2 )^n + 6 n + 1 - n^2
= - n^2 + 6 n + 1 - ( 1 / 2 )^n
= - n^2 + 6 n + 1 - □ ( □ は 0 より大きく 1 より小さい小数 ) > 0

n^2 - 6 n - 1 + □ < 0

3 - √ { 9 - ( - 1 + □ ) } < n < 3 + √ { 9 - ( - 1 + □ ) }

3 + √ { 9 - ( - 1 + □ ) }
= 3 + √ (10 - □ )
= 3 + √ ( 9 + □ )
= 3 + ( 3 + □ )
= 6 + □

n < 6 + □
よって、最大の自然数 n = 6 …………(答)

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

f272

Sn=n^2
Tn=-(1/2)^n+6n+1
だったらSnもTｎも単調増加だとすぐにわかって、さらにSnは２次、Tnは１次のオーダーだということもわかる。
そうすればnが大きくなってSn>Ｔnになったら、それ以降はずっとSn>Ｔnになるから、その境目を求めればよい。

で、式をにらめばn=6くらいで同じくらいになることが明らかだから、その近所の値を代入して確かめればよい。

これ以外のやり方だと、もっと時間がかかるだろう。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

fushigichan

こんにちは。

Sn=n^2

Tn=(1/2)*n^2 +6*n +1

とすると、

Sn^Tn=(3/2)*n^2 -6*n +1

=(3/2)(n-2)^2 -1-6
=(3/2)(n-2)^2-7

と変形できるので、ここにn=1から順番にいれていってもいいのですが
もう少し変形してみますね。

Sn-Tn<0となる最大のnですから

Sn-Tn=(3/2)(n-2)^2-7<0

(3/2)(n-2)^2<7
(n-2)^2<(14/3)←これは約4.7くらいですから

(n-2)^2が４くらいに近いnを求めればよい、と見当をつけることができます。

n>0の自然数ですから、(n-2)＾２＝４となるのは、n=4なので
n=4,5あたりを代入すればいいかな？ということになります。

Sn-Tnの値はn=4のとき確かにマイナスになっていますが
n=5を代入するとプラスになってしまいます。

よって題意を満たす最大の自然数n=4となります。

ある程度見当をつけておくといいと思います＾＾

補足

すいません！
問題を間違えて打ってしまいました…
正しくは

Tn=-(1/2)^n+6n+1

です。
丁寧に回答していただいたにもかかわらず
本当に申し訳ないです。

方針を示していただいたので
自分でも考えてみようと思いますが
よろしければ、
改めて回答を示してもらえれば幸いです…