数列

質問

数列{ａn}があり、
a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)(n+3) (n=1,2,3,,,,)
を満たしている。

(1)an (n=1,2,3,,,)を求めよ。
(2)a1+a2+a3+…anを求めよ。

この問題は(1)が解けないと(2)が解けないようになっているみたいで、1問目からよく分からなく、2問目まで手をつけることができません。
(1)の場合は、どうやらTnを用いて式をたてるみたいですが、…；Snの方法と同じなのでしょうか。。（Snのやり方さえもあやふやなのですが；）
アドバイスよろしくお願いします！

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)(n+3)
a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)a(n+1)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
とnとn+1に対する式を用意しておいて、下の式から上の式を辺々引くと、
(n+1)a(n+1)=4(n+1)(n+2)(n+3)
a(n+1)=4(n+2)(n+3)（n≧1）
番号を一つ落とすと、
an=4(n+1)(n+2)（n≧2）
この式でn=1とすると、右辺は24となって、a1=1・2・3・4=24に一致す
るから、この式はn≧1で成り立つ。
この手の問題は、大体こんな手法でできる。これは、離散型の問題だ
が、連続型で∫(0,x)f(t)dt=F(x)からf(x)を求める問題も同じような発
想である。要するに、離散型→差分、連続型→微分の違い。

a1+…+anの計算はわけないでしょう。
その際、正直に(n+1)(n+2)を展開するより、(n+1)(n+2)=(n+1)^2-(n+1)
とする方が少しは良いかも。あまり変わらないか・・・

回答No.4

nettiw

>>T(n)=1*a1+2*a2+3*a3+…+n*an=n(n+1)(n+2)(n+3)

前半。

(A)　n=1のとき、
　　　　　1*a1=1*2*3*4=24
　　　　　　　a1=24

(B)　n≧2のとき、
　　　n*an
　　=T(n)-T(n-1)
　　=｛n(n+1)(n+2)(n+3)｝-｛(n-1)n(n+1)(n+2)｝
　　=n(n+1)(n+2)｛(n+3)-(n-1)｝
　　=4n(n+1)(n+2)

　　　　　　an=4(n+1)(n+2)

　　　　(A),(B)より　an=4(n+1)(n+2)
----------

後半。(解１)
S(n)=4Σ[k=1,n](k+1)(k+2)

　　　　(1/3)｛(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)｝
　　　=(1/3)(k+1)(k+2)｛(k+3)-k｝
　　　=(k+1)(k+2)

S(n)=(4/3)Σ[k=1,n]｛(k+1)(k+2)(k+3)-k(k+1)(k+2)｝

　　=(4/3)｛2*3*4　　　　　　-　　1*2*3｝
　　+(4/3)｛3*4*5　　　　　　-　　2*3*4｝
　　+(4/3)｛4*5*6　　　　　　-　　3*4*5｝
　　+・・・
　　+(4/3)｛(n-1)n(n+1)　　　-　　(n-2)(n-1)n｝
　　+(4/3)｛n(n+1)(n+2)　　　-　　(n-1)n(n+1)｝
　　+(4/3)｛(n+1)(n+2)(n+3)　-　n(n+1)(n+2)｝

　=(4/3)｛(n+1)(n+2)(n+3)-1*2*3｝
　=(4/3)｛(n^3)+6(n^2)+11n+6-6｝
　=(4/3)｛(n^3)+6(n^2)+11n｝
　=(4/3)n｛(n^2)+6n+11｝

後半。(解２)
S(n)=4Σ[k=1,n](k+1)(k+2)
=4Σ[k=1,n]｛(k^2)+3k+2｝
=4Σ[k=1,n](k^2)+4Σ[k=1,n]3k+4Σ[k=1,n]2
=4*｛n(n+1)(2n+1)/6｝+4*3*｛n(n+1)/2｝+8n
=2*｛n(n+1)(2n+1)/3｝+6*｛n(n+1)｝+8n
=｛2n(n+1)(2n+1)/3｝+｛18n(n+1)/3｝+｛24n/3｝
=(2/3)n｛(n+1)(2n+1)+9(n+1)+12｝
=(2/3)n｛2(n^2)+3n+1+9n+9+12｝
=(2/3)n｛2(n^2)+12n+22｝
=(4/3)n｛(n^2)+6n+11｝

回答No.3

kumipapa

#1です。
忘れ物。n=1で成立することを確認しなくちゃだめ。
と思ったら、#2さんご指摘くださってましたね。

回答No.1

kumipapa

和Sn が式で与えられていれば一般項は容易に得られますよね。それとほぼ同じです。
落ち着いて式を見てみましょう。

A(n) = a1 + 2 a2 + 3 an + … + n an = n (n + 1)(n + 2)(n + 3)
とおくと、
A(n) - A(n-1) = n an ですから、
an = (A(n) - A(n-1)) / n
　　= (n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)(n + 1)(n + 2)
　　= (n + 1)(n + 2)( n + 3 - n + 1)
　　= 4 (n + 1)(n + 2)

（２）については、Σk^2 と Σk の公式って言うか求め方が分かっていればOKですね。
分からなければ教科書へ。