平方根を含む重積分

質問

∬√(x^2+y^2) dxdy
D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }

これが全く解けません。
積分範囲は上記したものとなり、図にすると正方形になります。円ではありません。
私自身数学に疎いので、定義等間違っているかもしれませんがこの問題は解けるのでしょうか？整数として解を出したいのですが全く解けません。
無理関数というやつなのでしょうか？

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の別解です。

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦10√3 }
x=rcosθ,y=rsinθで変数変換すると
　V=8∬[D2] r |J|dθdr,D2={(r ,θ)| 0≦r≦10√3/cosθ,0≦θ≦π/4 }
逐次積分に直して
　=8∫[0,π/4] dθ∫[0,10√3/cosθ] r^2 dr
　=8∫[0,π/4] dθ(1/3)(10√3/cosθ)^3
　=8000√3∫[0,π/4] dθ/cos^3(θ)
　=8000√3∫[0,π/4] cosθdθ/{(1-sinθ)(1+sinθ)}^2
sinθ=tで変数変換
　=8000√3∫[0,1/√2] dt/{(1-t)(1+t)}^2
部分分数分解して
　=2000√3∫[0,1/√2] {1/(t+1)+1/(t+1)^2-1/(t-1)+1/(t-1)^2}dt
　=2000√3 [ln(1+t)-1/(t+1)-ln(1-t)-1/(t-1)][0,1/√2]
　=2000√3 [ln(1+(1/√2))-1/((1/√2)+1)+1-ln(1-(1/√2))-1/((1/√2)-1)-1]
　=4000√3 [√2 +ln(1+√2)]

お礼

こちらもありがとうございます。極座標はなかなか理解し難いですが回答を参考にじっくり考えてみたいと思います。ありがとうございました。