平方根を含む重積分

質問

∬√(x^2+y^2) dxdy
D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }

これが全く解けません。
積分範囲は上記したものとなり、図にすると正方形になります。円ではありません。
私自身数学に疎いので、定義等間違っているかもしれませんがこの問題は解けるのでしょうか？整数として解を出したいのですが全く解けません。
無理関数というやつなのでしょうか？

回答No.1

info22_

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦10√3 }
　=8∫[0,10√3]dx∫[0,x](x^2+y^2)^(1/2) dy
y=xtで変数変換して
　=8∫[0,10√3]　dx ∫[0,1] x(1+t^2)^(1/2) xdt
　=8∫[0,10√3]　x^2 dx ∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8[(1/3)(10√3)^3]∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8000√3∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt ...(★)
ここで
　I=∫(1+t^2)^(1/2) dt
部分積分して
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t(1/2)(2t)(1+t^2)^(-1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t^2/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫ (1+t^2-1)/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)/(1+t^2)^(1/2)dt+∫1/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)^(1/2)dt +sinh^-1(t)
　=t(1+t^2)^(1/2) -I +sinh^-1(t)
2I=t(1+t^2)^(1/2) +sinh^-1(t)+2C
I=(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)+C

(★)の定積分のに代入して
　V=8000√3 [(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)][0,1]
　=4000√3 [√2 +sinh^-1(1)]
公式：sinh^-1(u)=ln(u+√(1+u^2))より
∴V=4000√3 [√2 +ln(1+√2)]
(lnは自然対数、つまり底がネピア数eの対数です)

お礼

ありがとうございます。展開の一つ一つを丁寧に書いて頂いて本当に助かりました。