平方根を含む重積分

質問

∬√(x^2+y^2) dxdy
D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }

これが全く解けません。
積分範囲は上記したものとなり、図にすると正方形になります。円ではありません。
私自身数学に疎いので、定義等間違っているかもしれませんがこの問題は解けるのでしょうか？整数として解を出したいのですが全く解けません。
無理関数というやつなのでしょうか？

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

D={(x,y)|-10√3≦x,y≦10√3}

I=∬_D√(x^2+y^2)dxdy

r=√(x^2+y^2)
dxdy=dS

とおくと

I=∬_DrdS

Dをxy両軸で4等分して考えれば対称性から

E={(x,y)|0≦x,y≦10√3}

として

I/4=∬_E√(x^2+y^2)dxdy

Eを極座標表示する。θ=π/4でEを分割すると、

下側 E_1：0≦r≦10√3/cosθ（0≦θ≦π/4）
上側 E_2：0≦r≦10√3/sinθ（π/4≦θ≦π/2）

また、面積要素について

dxdy=dr×rdθ=rdrdθ

よって、

I/4=∬_{E_1}r^2drdθ+∬_{E_2}r^2drdθ

=∫_0^{π/4}dθ∫_0^{10√3/cosθ}drr^2
+∫_{π/4}^{π/2}dθ∫_0^{10√3/sinθ}drr^2

後半の積分で置換φ=π/2-θを行うと、

∫_{π/4}^0(-dφ)∫_0^{10√3/cosφ}drr^2
=∫_0^{π/4}dφ∫_0^{10√3/cosφ}drr^2

となり前半の積分と同じになる。よって、

I/8=∫_0^{π/4}dθ∫_0^{10√3/cosθ}drr^2

=∫_0^{π/4}dθ[r^3/3]_0^{10√3/cosθ}

=∫_0^{π/4}dθ(3000√3/cos^3θ)/3

I=8000√3∫_0^{π/4}dθ/cos^3θ

t=tanθとおくと、0≦t≦1、dt=dθ/cos^2θ、cosθ=1/√(1+t^2)

I=8000√3∫_0^1√(1+t^2)dt

=8000√3[(1/2){t√(1+t^2)+log(t+√(1+t^2))}]_0^1

=8000√3[(1/2){√2+log(1+√2)}

=4000√6+4000√3log(1+√2)

※不定積分∫√(1+t^2)dtは公式集にありますが、導くなら次のような方法があります。

置換u=t+√(1+t^2)を利用。

(u-t)^2=1+t^2
u^2-2ut=1
t=(u-u^{-1})/2
dt=(1/2)(1+u^{-2})du
√(1+t^2)=u-t=(u+u^{-1})/2

∫√(1+t^2)dt=∫{(u+u^{-1})/2}{(1+u^{-2})/2}du
=(1/4)∫(u+u^{-1})(1+u^{-2})du=(1/4)∫(u+2u^{-1}+u^{-3})du
=(1/4){u^2/2+2log(u)-(1/2)u^{-2}}
=(1/4){(u^2-u^{-2})/2+2log(u)}
={(u-u^{-1})/2}{(u+u^{-1})/2}/2+(1/2)log(u)
=t√(1+t^2)/2+(1/2)log{t+√(1+t^2)}

お礼

回答して頂き非常に助かりました。私ももっと数学の理解を深めたいところです。

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の別解です。

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦10√3 }
x=rcosθ,y=rsinθで変数変換すると
　V=8∬[D2] r |J|dθdr,D2={(r ,θ)| 0≦r≦10√3/cosθ,0≦θ≦π/4 }
逐次積分に直して
　=8∫[0,π/4] dθ∫[0,10√3/cosθ] r^2 dr
　=8∫[0,π/4] dθ(1/3)(10√3/cosθ)^3
　=8000√3∫[0,π/4] dθ/cos^3(θ)
　=8000√3∫[0,π/4] cosθdθ/{(1-sinθ)(1+sinθ)}^2
sinθ=tで変数変換
　=8000√3∫[0,1/√2] dt/{(1-t)(1+t)}^2
部分分数分解して
　=2000√3∫[0,1/√2] {1/(t+1)+1/(t+1)^2-1/(t-1)+1/(t-1)^2}dt
　=2000√3 [ln(1+t)-1/(t+1)-ln(1-t)-1/(t-1)][0,1/√2]
　=2000√3 [ln(1+(1/√2))-1/((1/√2)+1)+1-ln(1-(1/√2))-1/((1/√2)-1)-1]
　=4000√3 [√2 +ln(1+√2)]

お礼

こちらもありがとうございます。極座標はなかなか理解し難いですが回答を参考にじっくり考えてみたいと思います。ありがとうございました。

回答No.1

info22_

対称性より
　V=∬[D]√(x^2+y^2) dxdy,D={(x , y)| -10√3≦x≦10√3 , -10√3≦y≦10√3 }
　=8∬[D1](x^2+y^2)^(1/2) dxdy,D1={(x , y)| 0≦y≦x≦10√3 }
　=8∫[0,10√3]dx∫[0,x](x^2+y^2)^(1/2) dy
y=xtで変数変換して
　=8∫[0,10√3]　dx ∫[0,1] x(1+t^2)^(1/2) xdt
　=8∫[0,10√3]　x^2 dx ∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8[(1/3)(10√3)^3]∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt
　=8000√3∫[0,1] (1+t^2)^(1/2) dt ...(★)
ここで
　I=∫(1+t^2)^(1/2) dt
部分積分して
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t(1/2)(2t)(1+t^2)^(-1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫t^2/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2)-∫ (1+t^2-1)/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)/(1+t^2)^(1/2)dt+∫1/(1+t^2)^(1/2)dt
　=t(1+t^2)^(1/2) -∫(1+t^2)^(1/2)dt +sinh^-1(t)
　=t(1+t^2)^(1/2) -I +sinh^-1(t)
2I=t(1+t^2)^(1/2) +sinh^-1(t)+2C
I=(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)+C

(★)の定積分のに代入して
　V=8000√3 [(1/2)t(1+t^2)^(1/2) +(1/2)sinh^-1(t)][0,1]
　=4000√3 [√2 +sinh^-1(1)]
公式：sinh^-1(u)=ln(u+√(1+u^2))より
∴V=4000√3 [√2 +ln(1+√2)]
(lnは自然対数、つまり底がネピア数eの対数です)

お礼

ありがとうございます。展開の一つ一つを丁寧に書いて頂いて本当に助かりました。