重積分の解き方がわからなくて困ってます

質問

∬（Ｄ）　ｘ　ｄｘｄｙ　Ｄ＝（０<=　ｘ＾２－ｘ　<=　ｙ　<=ｘ

図を描いて範囲を特定しようとしたのですがどう描いたらいいのか分かりません。
詳細な回答お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1にミスが有りましたので訂正します。

>∬(D) xdxdy=∫[1,2] x {∫[x^2-x,x] dy}dx
>=∫[1,2] x(x^2-x-x)dx
=∫[1,2] x(x-(x^2-x))dx
>=∫[1,2] (x^3-2x^2)dx
=∫[1,2] (2x^2-x^3)dx
>=　… ←　後の積分は出来ますね。やってみて下さい。

計算すると
=11/12
となります。

回答No.1

info22_

>図を描いて範囲を特定しようとしたのですがどう描いたらいいのか分かりません。
まず全ての境界線
　0=x^2-x → x(x-1)=0 → x=0,x=1
x^2-x=y → y=x(x-1)
y=x
つまり
　x=0,x=1,y=x(x-1),y=x
を描いて、不等式の領域 D　の不等式を満たす領域を求めれば良いでしょう。
境界線で区切られた領域内の代表点を代入して全ての不等式関係を満たすかチェックすれば良いです。求めた領域（境界線を含む斜線の領域）の図を添付します。

∬(D) xdxdy=∫[1,2] x {∫[x^2-x,x] dy}dx
=∫[1,2] x(x^2-x-x)dx
=∫[1,2] (x^3-2x^2)dx
=　… ←　後の積分は出来ますね。やってみて下さい。