重積分について

質問

Dが()内の領域の時、以下の重積分を求めよ。
∬(y-x)^2√(x+y)dxdy　(x≧0、ｙ≧0、x+y≦1)

以下が私が解いた結果です。

y-x=s,x+y=t　と置き換える。
(y=s+t/2,x=t-s/2)
これにより、下記のように書き換えが可能である。
∬(y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬s^2√(ｔ)dsdt

範囲条件より、0≦x+y≦1より、0≦ｔ≦1
ｓの範囲について考えると
・ｙが最大且つｘが最小の時→ｓは最大
・ｙが最小且つｘが最大の時→ｓは最小
これにより、ｓについての範囲は　-1≦ｓ≦1

次に変形後のJacobianについて考える。
JΦ(ｓ、ｔ)＝1/2

よって∬(y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬s^2√(ｔ)dsdt＝1/2

このような結果になったのですが、間違いや訂正する箇所はありますでしょうか？
あるようでしたら教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2のお礼の中の質問について

> sの範囲についてですが、y>xが証明出来れば0≦s≦1というのが証明できると
> 思うのですが、どうやってsの範囲を求めたら良いでしょうか？
> 計算式なども教えて頂けたら幸いです。
Dの領域の制約式からは「y>x」が証明不可能です（成立たないから証明出来ない）。
従って「0≦s≦1」も証明できません。
Dの領域の制約式から言えるのは「-1≦s≦1」です。

Dの領域の制約式からD'={(s,t)|制約式}を求める計算方法は次の通り。
>> y-x=s,x+y=t…(◆)　と置き換える。
>> (y=(s+t)/2…(▲), x=(t-s)/2)…(●)

>> Dが()内の領域の時、以下の重積分を求めよ。
>> ∬(y-x)^2√(x+y)dxdy　(x≧0、ｙ≧0、x+y≦1)

Dの領域の制約 「x≧0」に(●)の式を代入すれば
　(t-s)≧0 つまり t≧s …(A) が出てきます。
Dの領域の制約 「y≧0」に(▲)の式を代入すれば
　(s+t)≧0 つまり　t≧-s … (B)　が出てきます。
Dの領域の制約 「x＋y≦1」に(◆)の式を代入すれば
　t≦1 …(C) が出てきます。
(A),(B),(C)の共通領域がD'の(s,t)の領域になります。
　D'={(s,t)|t≧s, t≧-s, t≦1}　…(■)
D'の領域を図示したものを添付します。
水色の領域（境界線を含む）が　D' の領域です。
単純に tの範囲は「0≦t≦1」, sの範囲は「-1≦s≦1」ですが、
積分領域D'は(■)で表され、図の水色の領域D'です。

A#2の補足の中の質問について
> あと、最後の計算結果が2/27になる過程も教えていただけませんか？

これ↓だけ書いてあっても分からないですか？

>> ∬_D (y-x)^2√(x+y)dxdy
>> ＝∬_D' s^2√(ｔ)|J|dsdt
>> ＝∬_D' s^2√(ｔ)(1/2)dsdt
添付図の積分領域D'における積分を逐次積分で表すと
>> ＝(1/2)∫[0,1] √t*{∫[-t,t] s^2 ds}dt
　＝(1/2)∫[0,1] √t*{2∫[0,t] s^2 ds}dt
　＝∫[0,1] √t*{∫[0,t] s^2 ds}dt
　＝∫[0,1] √t*{(1/3)t^3}dt
　＝(1/3)∫[0,1] t^(7/2) dt
　＝(1/3) [(2/9)t^(9/2)] [t:0→1]
＝(2/27)*(1-0)
>> ＝2/27

お礼

度々の質問、申し訳ありませんでした。

この度は丁寧な回答、ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>y-x=s,x+y=t　と置き換える。
>(y=(s+t)/2,x=(t-s)/2)

>次に変形後のJacobianについて考える。
>JΦ(ｓ、ｔ)＝1/2
(y-x)^2√(x+y)dxdy=(s^2){t^(1/2)}|J|dsdt
=(1/2)(s^2){t^(1/2)}dsdt

>範囲条件より、0≦x+y≦1より、0≦ｔ≦1
>ｓの範囲について考えると
>・ｙが最大且つｘが最小の時→ｓは最大
>・ｙが最小且つｘが最大の時→ｓは最小
>これにより、ｓについての範囲は　-1≦ｓ≦1
tの範囲はOK,　sの範囲は間違い。

D={(x,y)|x≧0,ｙ≧0,x+y≦1}⇒D'={(s,t)||s|≦t≦1}
D'の領域の図を必ず描いてみて下さい。そうすると下の
逐次積分法の範囲の取り方が理解しやすいでしょう。

>よって∬(y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬s^2√(ｔ)dsdt＝1/2
間違い。

∬_D (y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬_D' s^2√(ｔ)|J|dsdt
＝∬_D' s^2√(ｔ)(1/2)dsdt
＝(1/2)∫[0,1] √t*{∫[-t,t] s^2 ds}dt
＝2/27
となります。

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

Sの範囲についてですが、y>xが証明出来れば0≦s≦1というのが証明できると
思うのですが、どうやってsの範囲を求めたら良いでしょうか？

計算式なども教えて頂けたら幸いです。

補足

あと、最後の計算結果が2/27になる過程も教えていただけませんか？

よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra

> ∬(y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬s^2√(ｔ)dsdt
まずここからして違う。

∬(y-x)^2√(x+y)dxdy＝∬s^2√(ｔ)*JΦ(s,t)dsdt
となります。ここでJacobianが出てこないとおかしい。

あと、(s,t)の範囲も間違い。
0≦t≦1とするのは問題ないがそうするとsの範囲はtの影響を受ける。
(たとえばt=0とすると必然的にx=y=0となるためs=0と値がきまってしまう。)

y=(s+t)/2 であり　0≦y≦1　ですので　-t≦s≦2-t となります。
同様に
x=(t-s)/2 であり　0≦x≦1　ですので　t-2≦s≦t となります。

0≦t≦1 であるため　t-2≦-t,t≦2-t ですのでsの範囲は -t≦s≦t　となります。