三角関数の問題

質問

もう何度めになるか分からないくらい質問しています
いつもいつも助けてくださり恐縮ですが甘えてばかり…

8sinθ-cosθ=7のとき　tanθの値はいくらか？
ただし　0<=θ<=180°とする。とあります。

現役高校生ならスラスラなのかもしれませんが・・・
よろしくご教授ください。

回答No.4

teketeke9684 · ベストアンサー

8sinθ-cosθ=7の式を(1)とおきます。 0<=θ<=180°というとき
0<=sinθ<=1 　0<=cosθ<=1 となります。
(1)からcosθ=8sinθ-7とし、これを(2)とします。
sin2θ＋cos2θ=1という定理があるのでこの定理に(2)式を代入します。
するとsin2θ＋（8sinθ-7）2=1となりこれを展開すると
65sin2θ-112sinθ＋48=0
(5sinθ-6)(13sinθ-8)=0
sinθ=6/5 , 8/13となります。
0<=sinθ<=1 よりsinθ=8/13となりこの値を(2)式(2)代入してとくとcosθ=27/13となります。
tanθ=sinθ/cosθという定理より
sinθ=8/13とcosθ=27/13を代入してtanθ=8/27となります

＊sin2θはサイン二乗シータ、cos2θはコサイン二乗シータ
　（数式）2はカッコ内を二乗という意味です。

お礼

すばらしい解法だとおもいます。
たいへん分かりやすく、読みやすかったです。

後半の因数分解から違ってしまったのは
きっと急がれたせいですね。ありがとうございました。

回答No.9

kyanaumi

＃６さんの間違え発見
1/8（7cosθ+1）・・・(1)
の7cosθじゃなくて7/cosθですね。
だからcosθ＝8sinθ-7を代入しても
sin/(8sinθ-7)になります。
後もう一つの間違いが
0<=θ<=180だからといってsinが０～１とは限りません。与えられた式により、制限が加わります。

お礼

たいへん勉強になりました
解説していただきありがとうございました

回答No.8

lvmhyamzn

解くの早いですね。

sinθ=s cosθ=c とすると
x*xをxxと表記する
8s-c=7
２乗して
64ss-16sc+cc=49
1=cc+ssだから
64ss-16sc+cc=49(cc+ss)
15ss-16sc-48cc=0

c=0のばあいs=1だから,与式にいれて
8-0=7とならないのでc=0でない。

よってccで両辺をわれる。

15(s/c)^2-16(s/c)-48=0
t=tanθとするとt=s/c
15tt-16t-48=0
この２次方程式をとけばよい。
あとこたえは同じはず。

お礼

ホントに皆さん解くの早いです。大感謝です。
「ccで両辺を割れる」ところが興味深かったです
エレガント(?)な解法だなーと思いました。
どうもありがとうございました

回答No.7

kyanaumi

解きなおした結果
tan=12/5または-4/3
でした。

回答No.6

lzp

tanθ=sinθ/cosθより
与式の両辺をcosθで割ると
8tanθ-1＝7/cosθ
8tanθ＝7/cosθ+1
∴tanθ＝7/8cosθ+1/8
　　　 ＝1/8（7cosθ+1）・・・(1)
ここで与式よりcosθ＝8sinθ-7
(1)に代入し
　tanθ＝1/8〔7（8sinθ-7）+1〕
　　　 ＝7sinθ-49/8+1/8
　　　 ＝7sinθ-6・・・(2)
ⅰ）(2)において、0<=θ<=180°であるので
θ＝0または180°のときsinθ＝0　
　　∴tanθ＝-6
ⅱ）0<θ<180°の範囲で90°のときにsinθは最大値1をとる。
　　∴tanθは最小で-6、最大で1

あっているかどうかまったく自信ありませんが使っていない頭を久しぶりに稼動させました。違っていたらただの迷惑ですがごめんなさい。

お礼

なぜ他の答えと違うのかなーと考えていましたが
それもわたしにはよく分からず悩んでいました。
でも、結果的にそれも勉強になりました。
どうもありがとうございました

補足

沢山のお答えありがとうございました。。
皆さん答えが違っていて現在混乱してます(^^;

どの解法もあっているような気がするんですが……
参ったなぁ。。

回答No.5

springside

#1の方の有力なヒントがありますので．．．

与式より、cosθ=8sinθ-7
これを、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1に代入すると、
(sinθ)^2+(8sinθ-7)^2=1
65(sinθ)^2-112sinθ+48=0
(13sinθ-12)(5sinθ-4)=0
∴sinθ=12/13, 4/5

sinθ=12/13のとき、cosθ=8sinθ-7=5/13
sinθ=4/5のとき、cosθ=8sinθ-7=(-3)/5

よって、
tanθ=sinθ/cosθ=12/5, (-4)/3

お礼

沢山の解法を頂きましたが
springsideさんの値が適切だと判断しました
すばらしい解法、ありがとうございました。

回答No.3

kyanaumi

おもったより、面倒だった・・・。
簡単に言えば
sinθ^２+cosθ^２＝１
とし、
sin＝ｘ、cos＝ｙ
とか置いて、与えられた式と連立すればx、yは求まります。このとき
0<=θ<=180°より、ｘは0～１で、ｙは-1～１の範囲であることに注意します。
また、
tanθ=sin/cos
より、与えられた式を両辺cosで割ってやると
tan=7/8cos+1
となりますので、cosを求めればいい事になります。
つまり、ｙを求めます。
x^2＋y^2=1
8x-y=7
の下の式を
x=（7+y）/8
ただしｘは0～１より
0＜＝（7+y）/8＜＝１
を解くと
-7<=ｙ<=１
となりｙは-1～１を考慮すると
結局
-1<=ｙ<=１
の範囲で解を出せばいい事になります。
そいで解いてやれば
y=5/13,-3/5
と出ますので
tan=7/8cos+1
のcosに代入してやれば二通りの解が出ます。

計算ミスしてたらごめんなさい。sin、cosをｘ、ｙに置いたり置かなかったりしてごちゃごちゃになってしまいました。すみません。

では、がんばってください。

お礼

回答ありがとうございました

『おもったより、面倒だった…』の一言が嬉しかったです
あぁ、数学好き(?)な方にとっても面倒だったのかと(^^;
たいへん勉強になりました

回答No.2

hakkoichiu

tanA = sinA/cosA

与式より
cosA = 8sinA - 7
sinA = (cosA + 7)/8

故に、
　　　　　　 (cosA +7)/8
tanA = 　-----------
　　　　　　　 8sinA - 7

お礼

回答ありがとうございました

わたしは正答を知らないのですが
題意は恐らく、tanθを、sinθやcosθを用いずに
表すことを求めていたと思われます。
説明が足りず申し訳ないです。

回答No.1

kony0

ヒント：sinθ, cosθに関する恒等式・・・(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1

お礼

ヒントありがとうございました
残念ながらヒントだけではわたしは解けませんでした
なお一層精進したいと思います(^^;