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三角関数の問題で、、、

三角関数で、 tanθ=2のとき (1/1+sinθ)+ (cosθ/1-sinθ) の値を求めよ。 で、cosに直すのかなあ とは思いますが、 答えがでません。。。 途中式がどうなるのか、教えて頂けたら嬉しいです。 よろしくお願いします。

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(1/(1+sinθ))+ (cosθ/(1-sinθ)) ={(1-sinθ)/(1-(sinθ)^2)} + {cosθ(1+sinθ)/(1-(sinθ)^2)} ={(1-sinθ)/((cosθ)^2)} + {cosθ(1+sinθ)/((cosθ)^2)} ={(1-sinθ)+cosθ(1+sinθ)}/((cosθ)^2) =(1-sinθ+cosθ+sinθcosθ){1+(tanθ)^2} ここでtanθ=2より {1+(tanθ)^2}=5 sinθ=±2/√5,cosθ=±1/√5(復号同順) なので 与式={1-(±2/√5)±(1/√5) +2/5}*5 =5±(1-2)√5+2 =7±(-√5) (答) 7±√5 (注) θ=tan^-1(2)+2nπのとき 7-√5 θ=tan^-1(2)+(2n+1)πのとき 7+√5 (n=任意の整数)

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 丁寧な解説ありがとうございます!

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  • 回答No.5

>他にも、三角関数で変形する事も可能だが P=1/(1+sinθ)+(cosθ)/(1-sinθ)=通分して=(2cos^2θ-cosθ+1)/(cosθ)^2 ‥‥(1) 条件から、sinθ=2cosθ だから2乗すると、1-cos^2θ=4cos^2θ → cosθ=±1/√5 ‥‥(2) 5cos^2θ=1を(1)に代入すると、P=(2cos^2θ-cosθ+5cos^2θ)/(cosθ)^2=7-1/cosθ ‥‥(3) (3)に(2)を代入するだけ。

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質問者からのお礼

ありがとうございます! 意外と簡単だったっことが判明しましたw

  • 回答No.3

1/(1+sinθ)+cosθ/(1-sinθ) ={(1-sinθ)+cosθ(1+sinθ)}/{(1+sinθ)(1+sinθ)} =(1-sinθ+cosθ+cosθsinθ)/(1-sin^2θ) =(1-sinθ+cosθ+cosθsinθ)/cos^2θ tanθ=2よりsinθ=2cosθなので =(1-2cosθ+cosθ+2cos^2θ)/cos^2θ =(1-cosθ+2cos^2θ)/cos^2θ =(1/cos^2θ)-(1/cosθ)+2 =1+tan^2θ-√(1+tan^2θ)+2 =1+2^2-√(1+2^2)+2 =7-√5

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質問者からのお礼

 ありがとうございました。

  • 回答No.2

こんにちわ。 まず、tanθの値から、cosθが求まりますよね。 さらに、cosθが求まれば、sinθも求まります。 あとは、cosθとsinθの値につく符号の組合せに注意しながら 計算してみてください。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。 なんとか、テストもクリアできました。

  • 回答No.1

tanθ=2 から sinθ=2cosθ だから sin^2θ+cos^2θ=1 より、sinθ と cosθ の値は直ぐ求められる。但し、2通りある。 それを求める式に代入する。 他にも、三角関数で変形する事も可能だが、それが一番簡単。 考えるところなんか、何もない。手を動かすだけ。

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質問者からのお礼

 ですね. よく考えてみたら、それほど難しくありませんでした。 ありがとうございます。

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