三角関数の問題がわかりません；

質問

三角関数の問題がわかりません；

sinθ+cosθ＝１/2のとき、次の式の値を求めよ。

(2)sin＾３θ＋cos＾３θ

という問題があるんですが、
答えが

sinθ+cosθ（sin^2θーsinθcosθ+cosθ＾２）

＝（sinθ+cosθ）（１－sinθcosθ）

＝1/2{１－（-3/8)}

＝1/2×11/8

＝11/16

なんですが、上から3段目から４段目にかけての式の変え方がよくわかりません；

教えてほしいです；

これより簡単に求める方法はないでしょうか？

この答え以外の別解をおしえてほしいです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

sinθcosθ　の値を設問の(1)などで求めていませんか？　恐らくそれを使っていると思いますが、次のように求めます。

　　(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2cosθsinθ
　∴(1/2)^2=1+2cosθsinθ
　∴cosθsinθ=-3/8

＞これより簡単に求める方法はないでしょうか？

　恐らくこれが一番簡単でしょう。

＞この答え以外の別解をおしえてほしいです。
　　cosθ+sinθ=1/2, cosθsinθ=-3/8 から　cosθ、sinθを２つの解とするtの２次方程式は、解と係数の関係から
　　　8t^2-4t-3=0
となりますので、この２次方程式を解いて、
　　　t=1/4±(1/2)√(1/4+3/2)=(1±√7)/4
　　∴(cosθ,sinθ)=( (1±√7)/4, (1干√7)/4 )　　（複号同順）
を得ます。
　あとはこれをそのまま与えられた式に代入します。
　　　(cosθ)^3+(sinθ)^3 ={(1±√7)/4}^3+{(1干√7)/4}^3 =2(1+21)/64 =11/16

　これでも求められなくはありませんが、こんな解答を書くと　センスないな　と思われるでしょうね。

回答No.3

alice_44

＞上から3段目から４段目にかけての式の変え方がよくわかりません；

なぜ、そこが…？
通分して、1 - (-3/8) = 8/8 + 3/8 = (8 + 3)/8 = 11/8 です。
これに 1/2 を掛ける。

回答No.2

mister_moonlight

＞上から3段目から４段目にかけての式の変え方がよくわかりません；

sinθ+cosθ＝１/2　の両辺を2乗して、1＋2*sinθ*cosθ＝1/4　から、sinθ*cosθ＝-3/8を代入しただけ。

＞この答え以外の別解をおしえてほしいです

sinθ＝a、cosθ＝bとすると、a＋b＝1/2、ab＝-3/8　から、aとbは　t＾2－(1/2)t-3/8＝0　つまり8t＾2-4t-3＝0　‥‥(1)　の2つの解。　又、t＾2＝(4t＋3)/8　でもある。

一方、求めるものは、a＾3＋b＾3　(ここで、因数分解をしたら、上の解と同じになるから止めとく)。
ここで、次数を下げる、という求値問題の基本に帰る。

(1)から、8t＾3＝4t＾2＋3t＝4(4t＋3)/8＋3t＝5t＋3/2　であるから、8a＾3＝5a＋3/2、8b＾3＝5b＋3/2である。
よって、8a＾3＋8b＾3＝5(a＋b)＋3＝11/2　であるから、a＾3＋b＾3＝11/16