数学 三角関数 問題

質問

ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１／√２のとき、次の値を求めよ。
(1)（ｓｉｎθーｃｏｓθ）＾２
(2)ｔａｎθ＋１／ｔａｎθ
解き方がよく分からないので解き方を教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
sinθ+cosθ=1/√2を自乗して
（sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1/2
公式：（sinθ)^2+(cosθ)^2=1を適用して
1+2sinθcosθ=1/2
sinθcosθ=-1/4　…(A)
が導けます。
（sinθ-cosθ)^2=（sinθ)^2+(cosθ)^2-2sinθcosθ
公式：（sinθ)^2+(cosθ)^2=1と（A) の関係を代入すれば
「3/2」と出て来ます。

(2)
tanθ+1/tanθ=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ
={(sinθ)^2+(cosθ)^2}/(sinθcosθ)
公式：（sinθ)^2+(cosθ)^2=1と（A)の関係を代入すれば
「-1/4」と求まるよ。

回答No.3

alice_44

三角関数というより、対称式の問題ですね。

(sinθ - cosθ)^2 も、tanθ + 1/tanθ も、sinθ と cosθ について対称な式です。
対称な多項式および分数式は、基本対称式の多項式および分数式で表すことができます。
sinθ と cosθ の基本対称式とは、sinθ + cosθ と (sinθ)(cosθ) のことです。
つまり、(1)も(2)も、sinθ + cosθ と (sinθ)(cosθ) の式として書けるのですが、
sinθ と cosθ の間には、(sinθ + cosθ)^2 = 1 + 2(sinθ)(cosθ) の関係があるので、
結局(1)(2)は、sinθ + cosθ だけの式として書くことができるのです。

具体的には、
(sinθ - cosθ)^2 = (sinθ)^2 - 2(sinθ)(cosθ) + (cosθ)^2 = 1 - 2(sinθ)(cosθ) = 2 - (sinθ + cosθ)^2 ,
tanθ + 1/tanθ = (sinθ)/(cosθ) + (cosθ)/(sinθ) = 1/{(sinθ)(cosθ)} = 2/{(sinθ + cosθ)^2 -1}.
です。これに sinθ + cosθ = 1/√2 を代入すれば、答えが求まります。

回答No.2

info22_

#1です。

訂正です。

A#1の(2)の最後の行の
>「-1/4」と求まるよ。
は誤植です。
正しくは
正：「-4」と求まるよ。
です。

訂正をお願いします。