変形ベッセル関数について

質問

添付したページの式の変形がわかりません。どなたか解説していただけないでしょうか。回答よろしくお願いします

回答No.5

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

No.3 の(a)式でν=1 と置いたものは
(A)　　K_1(z) = z∫{0→∞} {cos t dt / (t^2 + z^2)^(3/2)}
で，これは Ae610 さんの No.4 の最初の式と同じです
(z ⇔ bω/vγ)．

で，質問の(1)の積分のところは
(B)　　∫{-∞,∞} (γ^2 v^2 t^2 + b^2)^(-3/2) cos(ωt) dt
　　　= (2/ω)∫{0,∞} {γ^2 v^2 (u/ω)^2 + b^2}^(-3/2) cos u du
　　　= (2/ω) (ω/γv)^3 ∫{0,∞} {u^2 + (bω/γv)^2}^(-3/2) cos u dt
　　　= (2/ω) (ω/γv)^3 (γv/bω) K_1(bω/γv)
　　　= 2ω/(bγ^2 v^2) K_1(bω/γv)
あとはもともと頭についていた係数を掛けて
(C)　　(qγb/2π) {2ω/(bγ^2 v^2)} = qω/πγv^2
すなわち
(D)　　質問の(1)式 = (qω/πγv^2) K_1(bω/γv)

お礼

計算過程まで書いていただきありがとうございました。

回答No.7

siegmund

siegmund です．

No.5 でミスタイプしました．
(B)式３行目の最後の dt は du が正しいです．

Ae610 さんの計算と一致してよかったです．

お礼

やってみたらできました。ありがとうございました。

回答No.6

Ae610

ANo.2&4です。
大変申し訳ありませんでした。

当方のANo2とANo4の計算では、括りだした係数を3乗するのを忘れてしまっていました。
確かに(2)式
E(ω) = (qω/πγv^2)・Ｋ[1](bω/γv)
・・・が確認出来ました。

ご面倒をおかけしました。

お礼

できました！ありがとうございました。

回答No.4

Ae610

ANo.2です。
Ｋ[1](bω/vγ) = (bω/vγ)・∫(0,∞){(t^2＋(bω/vγ)^2)^(-3/2)・cos(t)}dt
であるので、質問者の表記された(2)の式の(bω/γv)がダブって表現されているのではないかと思う。

ANo.2でE(ω) = (qγ/π)・Ｋ[1](bω/γv)　(Ｋ[1](z)は変形ベッセル関数)は
E(ω) = (qγ/πω)・Ｋ[1](bω/γv)　(Ｋ[1](z)は変形ベッセル関数)
に訂正させて頂きます。

お礼

失礼しました。確認してみます。

回答No.3

siegmund

seturi38 さんの(1)式で，
対称性から e^(iωt) は cos(ωt) と置き直してしまってよいです．
第２種変形ベッセル関数 K_μ(z) の積分表示
(a)　　K_μ(z) = {Γ(1/2+μ) (2z)^μ/√π} ∫{0→∞} {cos t dt / (t^2 + z^2)^(μ+1/2)}
を使っているものと思われます．
Γ はガンマ関数．
今はμ=1 ですから，Γ(1/2+μ) = √π/2 です．
あとは積分変数を ωt = u と変換し，
分母から因子を引っ張り出して上の(a)式の積分の型にすれば
(2)式が出てきます．
ちょっとやってみましたが，(2)式は間違いないようです．

(a)の積分表示は
http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html
をご覧ください．

ellipt01 さんご紹介の論文も見ましたが，
この論文の(4)式は本質的に上の(a)式と同じものです．

お礼

ありがとうございます。やってみます。

回答No.2

Ae610

E(ω) = (qγb/2π)・∫(-∞,∞){(b^2＋(γv)^2・t^2)^(-3/2)・e^(iωt)}dt
E(ω) = (q/πbv)・(bω/γv)・Ｋ[1](bω/γv) (Ｋ[1](z)は変形ベッセル関数)

・・・で、質問文を見ると(・・・・になるそうなのですが)
・・・と書かれているのだが、係数の部分は本当にそのように書かれているのだろうか・・・？
(質問の言い回しが気になるのだが、本当にそれで良いのだろうか？)
係数の部分を約分して整理すると
E(ω) = (qω/πγv^2)・Ｋ[1](bω/γv)
・・・となるが・・！？

因みに当方で変形を試みると
E(ω) = (qγ/π)・Ｋ[1](bω/γv)　(Ｋ[1](z)は変形ベッセル関数)
・・・となるのだが・・！？

お礼

＞因みに当方で変形を試みると
E(ω) = (qγ/π)・Ｋ[1](bω/γv)　(Ｋ[1](z)は変形ベッセル関数)
このようになるのですか！
変形の方針としては、
http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1
の第二種変形ベッセル関数のような形になるように変形していったらいいのでしょうか？
虚数iの扱い方がよくわからないのですが。。。
何度も質問すいません。

回答No.1

ellipt01

これは 1/(t+z)^(1+1/2) のFourier変換ですね。でも偶関数なのでFourier cosineです。
回答としてはあまりいいソースでもないとは思いますが、とりあえず見つかったのはこちら
ttp://www.scielo.br/pdf/rbef/v30n1/a03v30n1.pdf
これの(4)式で計算して答えが合うでしょうか？
合うのであれば(4)式の導出を論文から読み取れば全て導かれると思います。

お礼

ありがとうございます。やってみます。