ベッセル関数の微分計算

質問

ベッセル関数の微分計算

添付画像の式変形で2項目の変形について、この式変形は正しいのでしょうか？

自分で計算したところ、上の式の2mのうち、2が余分に残るような気がします。総和の範囲をm=0からm=1のする時に
余分な2を消しているのでしょうか?

出典もとは以下のファイルのp9となります。
www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/kunimasa.pdf

よろしくお願いいたします。

回答No.4

tra_tata · ベストアンサー

(1行目右の式)のΣ内にある(ν+2m)を上記(その1)で分解する。
(1行目右の式)
　= 1/2 * Σ[m=0～∞] (A1/B)*C + 1/2 * Σ[m=0～∞] (A2/B)*C ・・・(*)
ここで、
A1: (-1)^m * (ν+m)
A2: (-1)^m * m
B: m! * Γ(ν+m+1)
C: (z/2)^(2m+ν+1)

(*)の第1項を、上記（その2）で分解、約分する。
　(*)の第1項にある
B: m! * Γ(ν+m+1)　は
　　　=m! * (ν+m) * Γ(ν+m) なので、
Aにある、(ν+m)と約分できる。

また、(*)の第2項を、上記（その3）で分解する。
1/2 * Σ[m=0～∞] (A2/B)*C
= 【(A2/B)*C　においてm=0としたもの　】+ 1/2 * Σ[m=1～∞] (A2/B)*C

ここで、【】は0になるのであわせて考えると求める式は出る。

画像で綺麗に書いたのにUpできず、文書で書きました。

お礼

何度も回答ありがとうございます。
参考になります。

画像のUpですが、色々問題ありますね。システムがおかしいのでしょうか.

回答No.3

tra_tata

#1です。

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.2

tra_tata

#1の画像が添付失敗したようなので再度Upします。

回答No.1

tra_tata

>> 自分で計算したところ、上の式の2mのうち、2が余分に残るような気がします。
>> 総和の範囲をm=0からm=1のする時に余分な2を消しているのでしょうか?

違うと思いますよ。
ポイントは3つです。
======================================================================
(その1) ν+2m=(ν+m)+m
(その2) Γ(n+1)=n*Γ(n)　：ガンマ関数の性質
(その3) Σ_[m=0～∞]=【Σの中身にm=0を代入したもの】+Σ_[m=1～∞]
======================================================================

具体的に当てはめてみると、添付の図のように計算できます。