変形ベッセル関数

質問

変形ベッセル関数K0(x)はxが実数の時に、関数値が実数となるよう
定義されていることになっていますが、どのような式になるのか
教えてください。

回答No.3

flex1101 · ベストアンサー

私自身まだまだ勉強中の身で、残念ながら質問者様の希望の回答はすぐには答えられなさそうです。

K0(x)についての級数展開はリンク先の式(4)に示されていますが、式の導出はAbramowitz and Stegun 1972などを参考にすることになるかと思います。

ただ、この式は無限総和の項があるため、数値計算では使えないのでしょうね(途中で打ち切る必要があります）。よくわかっていないので恐縮ですが、「漸近級数展開」などもキーワードにさらに調べる必要があるのかもしれません。

質問者様が導出されたオイラー定数が含まれる式についても何かわかれば今後回答するかもしれませんが、現状では私自身にはさっぱりです。力不足すみません。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

お礼

ありがとうございました。何とか計算してみます。

回答No.2

flex1101

K0(x)ということで第２種0次変形ベッセル関数と呼ばれるものです。

以下は僕なりの解釈です。間違っている部分があるかもしれません。

第2種変形ベッセル関数はリンク先のFeyman propagatorなんたらと書かれているところの下にある積分表示形では

K_alpha(x) = (1/2)e^{-(1/2)alpha pi i} integ_-inf^inf (e^{-i x sinht - alpha t}) dt
となっています。 (e^a は指数のa乗を表します. integ_-inf^infはマイナス無限からプラス無限の積分とします。)

質問の0次の場合、alpha=0となり
K_0(x) = (1/2) integ_-inf^inf (e^{-i x sinht}) dt
となります。これを式2とします。

ここで、xが実数ということは -i x sinhtは虚数になりますね。
(虚数i * 実数x = 虚数)
(反対にxが純虚数の場合、虚数単位i*純虚数x = 実数になります)

式2において、-i x sinhtが虚数になっていて、オイラーの公式
(e^{i theta} = cos(theta) + i sin(theta))を使うと
被積分関数はcos()とisin()が含まれますね。

ところで、積分範囲がマイナス無限からプラス無限の場合、被積分関数が奇関数の時、積分したら0になりますね。(sin関数の面積を考えてみてください)。偶関数が被積分関数の場合、消えずに残ります。

cos()は偶関数で積分しても消えず、sin()は奇関数でisin()も奇関数なので、こちらは積分するとなくなります。

結局、式2は積分された後にcos()の成分しか残りません。
あらためてK_0(x)を書くと
K_0(x) = (1/2) integ_-inf^inf (cos(-x sinht)) dt
というようになり、これからもxが実数の場合、K_0(x)も実数になるのがわかりますね。

一応wikipediaをリンクしてますが、間違いも結構あるので、自分で本なりでも
確認しておいてください。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#Modified_Bessel_functions_:_I.CE.B1.2C_K.CE.B1

補足

回答ありがとうございました。質問の内容を詳細に説明します。現在、円盤の振動解析をしていますが、J0(x),I0(x),Y0(x),K0(x)及びこれらの１次、２次微分まで求める必要があり、式と計算両方必要です。級数展開の方法で、K0(x)以外はできましたが、実数になるはずのK0(x)に虚数部が残り、苦慮しています。K0(x)=(iパイ/2-ln(ix/2)-オイラ定数)*I0(x)+・・・
このI0(x)の係数が実数になる証明ができていません。回答の積分による方法は私の実力では計算できませんでした。できれば、級数展開の方法で
教えていただけると幸いです。

回答No.1

spring135

質問の趣旨がわかりませんが
Wikipediaぐらいは参照できますね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0