• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

(x^3/√(x^2+1))の不定積分

申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。 (x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。 部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・ よろしくおねがいします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数3021
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

置換積分でできると思います。 ∫(x^3/√(x^2+1))dx =∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt =(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt =(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C =(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C =(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C =(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C =(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C でどうでしょうか?確認してみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

無事解くことができました。考えすぎだったようです・・・ 丁寧に途中式を書いて頂き、ありがとうございます!

関連するQ&A

  • ∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

    ∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません 答えは ( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) ) となるようですが、過程がまったくわかりません。 部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。 見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。 よろしくおねがいします。

  • 1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について

    1 / (x^2+1)^(3/2) の積分なのですが、これはどのように解いたら良いのでしょうか? 置換積分法で解こうとしても解けませんでしたし、部分積分法でもいまいち分かりませんでした。 ちなみに答えは x / (1 + x^2)^(1/2) + C となっていました。 どなたか解説よろしくお願いします。

  • logの積分

    log(x^2+√x^2+1)(ルートのなかはx^2+1です。) の不定積分をもとめたいのですが、 私はまず微分してみて部分積分で解こうとしたんですが、部分積分のインテグラルの中がすごい式になって解けませんでした。 どうやって解けばいいのでしょうか。 回答お願いします。

  • 不定積分の問題

    不定積分の問題 ∫2/(x-1)(x^2+1)dxについてです。 途中までは解いてみて、部分分数分解をして、∫1/(x-1)dx+∫(-x-1)/(x^2+1)dx のように式変形できました。 ∫1/(x-1)dxについては解けますが、∫(-x-1)/(x^2+1)dxはどうすればよいでしょうか? ここでつまってしまいました。 高校で習った公式ではたぶん解けないと思います。 分かる方、宜しくお願いします。

  • 不定積分について

    大学の微分積分でてきた問題(答えが無い) で(2X+3)/X^2+9を不定積分しろとあったのですが 分子が分母を微分した結果にならないからlogで積分できないし 部分分数にすることもできずまた分子を分母でわることもできず 積分ができなくて困っています それと(X-1)log(X+1)dxの不定積分とe^2xcosxdxの不定積分を 部分積分法を使ってやってみたのですが何回くりかえしても 式が展開されるだけで困っています

  • 不定積分できる!

    質問サイトなのにタイトルが肯定文なところに惹かれて来てくだっさたあなたに質問です。 私は基本的な不定積分(高校くらいまでで∧難しすぎないもの)ならできるつもりです。 しかし、三角関数の不定積分がよくわかりません。 たとえば、次の関数の不定積分を求めよ。(xは省略) ア) tan/cos , イ) cos^4 , ウ) 1/sin , エ) (tan/cos)^2 , オ) tan^4 , カ) 1/cos^4 きっとどうせ、置換積分法か部分積分法か式変形の組合せで解くのだと思いますが、三角関数の不定積分は紛らわしいです。 問題の式をちょっと見ただけですぐに解法が思いつくにはどうすればいいのでしょうか。 (別にアからカの答えを聞いているわけではありません。一応なんとか解けます)

  • 不定積分

    今数学Ⅲの不定積分を やっているんですが、 いろんな方法があって こんがらがっています(>_<) 置換積分法とか部分積分法 とかのやり方はわかるのですが いざ不定積分せよ、と聞かれたとき どの方法を使うのか わかりません この式の形だったら この方法を使うといったような パターンはありますか? 教えていただきたいです

  • 不定積分の公式を証明して下さい。

     √(x^2+a) の不定積分の答えが  (x√(x^2+a)+alog|x+√(x^2+a)|)/2+C となることを証明して下さい。 部分積分を使うとx√(x^2+a)は出てくるんですが右側がどうしてもlogになりません。

  • 不定積分の問題です。教えてください。 

    こんにちは。 ∫1/X^2+1 dxという問題なのですが部分積分法や置換積分法を用いてもうまく解けません。解法を教えてください。

  • 不定積分についてです

    (置換積分) f:[a,b]→[c,d]がC^1級でg:[c,d]→Rが連続であるとき次の式が成立する ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx = ∫[f(a),f(b)]g(y)dy この定理が成り立つのは良いのですが,不定積分について ∫g(f(x))f'(x)dx =∫g(y)dy が成り立つ理由がわかりません… 部分積分も同様に,定積分の式ならわかるのですが、不定積分について ∫f(x)g'(x)= f(x)g(x)-∫f'(x)g(x) となる理由がわかりません。 大学数学での不定積分のきちんとした定義とともに、 ∫[a,b]g(f(x))f'(x)dx = ∫[f(a),f(b)]g(y)dy ∫f(x)g'(x)= f(x)g(x)-∫f'(x)g(x) の成り立つ理由がわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致しますm(__)m