(x^3/√(x^2+1))の不定積分

質問

申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。

(x^3/√(x^2+1))　の不定積分なのですが
このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。

部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

置換積分でできると思います。

∫(x^3/√(x^2+1))dx
＝∫ｘ√（ｘ^2＋１）ｄｘ－∫ｘ／√（ｘ^2＋１）ｄｘ
ここで、ｘ^2＋１＝ｔとおくと、２ｘｄｘ＝ｄｔより、ｘｄｘ＝(1/2)ｄｔ
＝(1/2)∫ｔ^(1/2)ｄｔ－(1/2)∫ｔ^(-1/2)ｄｔ
＝(1/2)×(2/3)ｔ^(3/2)－(1/2)×２ｔ^(1/2)＋Ｃ
＝(1/3)ｔ^(2/3)－ｔ^(1/2)＋Ｃ
＝(1/3)（ｘ^2＋１）√（ｘ^2＋１）－√（ｘ^2＋１）＋Ｃ
＝(1/3)（ｘ^2＋１－３）√（ｘ^2＋１）＋Ｃ
＝(1/3)（ｘ^2－２）√（ｘ^2＋１）＋Ｃ

でどうでしょうか？確認してみて下さい。

お礼

無事解くことができました。考えすぎだったようです・・・
丁寧に途中式を書いて頂き、ありがとうございます！