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三角関数の不等式
0≦θ<2πのときsinθ+sin2θ+sin3θ>0を解け 三倍角の公式でsinθ+sin2θ+sin3θ=sinθ+2sinθcosθ+3sinθ-4sin^3θ=4sinθ+2sinθcosθ-4sin^3θ=sinθ(4+2cosθ-4sin^2θ)=sinθ(2cosθ+4cos^2θ)=sin2θ(2cosθ+1) これが正になるのはsin2θと2cosθ+1の符合が同じになったとき ここからがわからないので教えてください
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次の[1]、[2]に場合分けして、それぞれでθの範囲を求め、 求めた2つの範囲を合わせればいいと思います。 [1]sin2θ>0 かつ cosθ>-1/2 [2]sin2θ<0 かつ cosθ<-1/2 例えば[1]は 0≦2θ<4π, sin2θ>0 から 0<2θ<π, 2π<2θ<3π すなわち 0<θ<π/2, π<θ<3π/2 …(1) 0≦θ<2π, cosθ>-1/2 から 0≦θ<2π/3, 4π/3<θ<2π …(2) (1)、(2)の共通範囲から 0<θ<π/2, 4π/3<θ<3π/2 [2]も同様にできます。 計算間違いをしていたらすみません。 これでご理解いただけたでしょうか?
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- mister_moonlight
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>ここからがわからないので教えてください ここから先が分からないのでは、不等式は分かってないという事。 単位円を書いても良いし、グラフを書いても良い。分からなければ、教科書の復習をすること。 sinθ+sin2θ+sin3θ=(sinθ+sin3θ)+sin2θ=2*sin2θ*cosθ+sin2θ=sin2θ(2*cosθ+1)>0 (1) sin2θ>0、2*cosθ+1>0 (2) sin2θ<0、2*cosθ+1<0 の2つの場合がある。
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ありがとうございました!
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