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極限の考え方です。
kabaokabaの回答
参考書にもかいてるでしょう,「目的地」って. lim_{x->1} x ってのは xを1に近づけたときに,xが近づいていく「先」のことを言っているから lim_{x->1} x = 1 は正しい. たとえば,lim_{x->1} 1/x にすれば,これは xを1に近づけたときに, 1/xが近づいていく「先」のことを言っているから lim_{x->1} 1/x = 1 となる. なお,No.1は間違ってるから要注意 0.999..... ってのは,つねに厳密に1です(普通の表記法を採用しているのであれば). 数学では工学とかでよくでてくるような 「誤差が小さいから無視して」というのは NGです. 例外的な扱いをうけるものもありますが, それらすらも,厳密な(誤差云々がない)正当化がなされています. >これを別の例を示すと > >1÷3=0.33333… >0.33333…×3=0.99999…≠1 > >?となりますよね? >ですが、最初の1にはならず、0.99999となります なりません.前段で「掛け算と割り算は互いに対」(逆演算のことを示すと推測) といいながら,割り算の逆が掛け算ではないといっているので自己矛盾でしょう? そもそも極限の導入に,本質的に極限を使っている 0.3333....の表記を導入すること自体,順序が違います. 繰り返しますが, 極限値というのはあくまでも「近づく先」なのです. 決して,途中経過(近づき方)はみていません. #細かく言えば,極限値ってのは,近づけ方は何でもいいのです #そして,近づけ方が自由なので,途中経過も任意性があります. #逆に近づけ方によってに違う値に近づく場合は,極限値は存在しないというのが #定義の中に内包されています. したがって 仮に 「xを1と一致しないように1に近づける」ことを「x->1」としたって, 極限値 lim_{x->1} x は 「xが近づくその到達先」 のことなので, lim_{x->1} x = 1 です.これは誤差云々が入り込む余地はありません. 厳密なことをいえば,x->1 というのは「xが1ではない」というのは含みません. これは大学生にでもなって極限の厳密な定義を習えば理解できるでしょう. もっとも,「xが1ではない」という追加条件をつけても まあ,同じ理論ができあがるはずので大差はないのですが.
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