二次関数の問題

質問

y＝ｇ(ｘ)=-2(x+a)+b・・・(1)

(1)のｙ＝17となるｘの値が-1と3であるとすると、頂点の座標は(□、□)である

(ｘ、ｙ)＝(-1、17)(3,17)を代入して求めたのですが、

ｇ(ｘ)-17＝-2(ｘ+1)(ｘ-3)
がなりたつことを利用しても求められるようなのです。
なぜこの式が成り立つのかがよくわからないのですが、
それを教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

単なるミスプリと思いますが
(1)　　y=g(ｘ)=-2(x+a)+b
では２次関数になりませんね．
頂点の座標と書いているところ，上の式が平方完成型になっているところを見ると
(2)　　g(ｘ)=-2(x+a)^2+b
のつもりでしょうか？

さて，ｙ= 17となるｘの値が-1と3であるということは
２次方程式
(3)　　g(x) = 17　　<==>　　g(x) - 17 = 0
の２つの解が-1と3ということです．
解が x=α と x=β である２次方程式は
(4)　　A(x-α)(x-β)=0　　(A はゼロでない定数)
と書けます(だからこそ，因数分解できれば解が求まるわけです)．
したがって
(5)　　g(x) -17 = A(x+1)(x-3)
と書けます．
A はどうやって決める？
(5)の右辺を展開したとき，x^2 の係数は A であることはすぐわかります．
一方，(2)を見ると，(5)の左辺の x^2 の係数は -2 です．
したがって，
(6)　　A = -2
と選べばよいわけです．
つまり，(5)は
(7)　　-2(x+a)^2+b = -2(x+1)(x-3)
あとは両辺展開して x の１次の係数と定数項を両辺で比べれば a,b がわかります．

投稿しようとしたら winterofmeei さんのご回答がもう出ていました．
本質的に同じ回答ですが，書いたので投稿しちゃいます．

お礼

ご回答ありがとうございます。
詳しくてとてもわかりやすかったです。
参考にさせていただきます。

回答No.3

ONEONE

直感的にはy=g(x)をｙ軸方向に-17平行移動させたグラフが(-1, 0),(3, 0)を通ることを考え
y = f(x) = -2(x + 1)(x - 3)
となり
これの頂点の座標は(1, 8)で
f(x)はg(x)をy軸方向に-17平行移動させたものだから、元に戻すためにｙ軸方向に+17平行移動させれば
頂点の座標は(1, 25)
ということになります。

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/seppen/seppen.htm

お礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございました！

回答No.1

winterofmeei

y＝ｇ(ｘ)=-2(x+a)+b　では、y=17となるｘの値は一つしかないと思いますが……（あるいは全部のX）

なので
y=g(x)=-2(x+a)^2+b……(1)　で考えます。

g(x)-17＝-2(x+1)(x-3)……(2)
において、x=-1、あるいはx=3を代入すると右辺は0になります。つまり

g(-1)-17=0、g(3)-17=0

という形になります。
y=g(x)なので、(2)は成り立ちます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
よくわかりました(＾＾)