数学の問題です。

質問

【問題】座標空間に２つの球、１つは点Ｐ（a,2b,2a）を中心とし、yz平面に接する球Ｋ1、
他は点Ｑ（b,2a,2b)を中心とし、同じくyz平面に接する球Ｋ2がある。
但し、0＜a＜bとする。
(1)Ｋ1，Ｋ2のそれぞれの半径r1,r2,および２球の中心間の距離はいくらか？
(2)Ｋ1，Ｋ2が共有点を持ち、かつ共有点全体が円をなすためのa,bの条件を求め、
その円の中心をＲとした場合、点Ｒの座標を求めよ。

途中式や考え方も書いてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

ferien

ANo.2です。　少し訂正です。

＞整理すると、
＞９（ｂ－ａ）^2ｔ＝（ｂ－ａ）（４ｂ－５ａ）より、

でお願いします。

回答No.2

ferien

【問題】座標空間に２つの球、１つは点Ｐ（a,2b,2a）を中心とし、yz平面に接する球Ｋ1、
他は点Ｑ（b,2a,2b)を中心とし、同じくyz平面に接する球Ｋ2がある。
但し、0＜a＜bとする。
＞(1)Ｋ1，Ｋ2のそれぞれの半径r1,r2,および２球の中心間の距離はいくらか？
ｙｚ平面に接するから、半径はそれぞのｘ座標
Ｋ１の半径ｒ１＝ａ，ｋ２の半径ｒ２＝ｂ
２球の中心間ＰＱの距離は
（ｂ－ａ）^2＋（２ａ－２ｂ）^2＋（２ｂ－２ａ）^2＝９（ｂ－ａ）^2より、
３（ｂ－ａ）

＞(2)Ｋ1，Ｋ2が共有点を持ち、かつ共有点全体が円をなすためのa,bの条件を求め、
Ｋ1，Ｋ2が共有点を持つには、ｒ２－ｒ１＜ＰＱの距離＜ｒ２＋ｒ１であれば良いから、
ｂ－ａ＜３（ｂ－ａ）＜ｂ＋ａ
ｂ－ａ＜３（ｂ－ａ）より、２ａ＜２ｂ，ａ＜ｂ
３（ｂ－ａ）＜ｂ＋ａより、２ｂ＜４ａ，ｂ＜２ａ　よって、ａ＜ｂ＜２ａ…（ア）
Ｋ１：（ｘ－ａ）^2＋（ｙ－２ｂ）^2＋（ｚ－２ａ）^2＝ａ^2　……（１）
Ｋ２：（ｘ－ｂ）^2＋（ｙ－２ａ）^2＋（ｚ－２ｂ）^2＝ｂ^2　……（２）
（１）（２）をそれぞれ展開して、（２）－（１）より、
２（ｂ－ａ）ｘ－４（ｂ－ａ）ｙ＋４（ｂ－ａ）ｚ＝０より、
（ｂ－ａ）ｘ－２（ｂ－ａ）ｙ＋２（ｂ－ａ）ｚ＝０　……（３）
共有点全体がなす円は、平面（３）の上にある。
また、平面（３）は球の中心Ｐ，Ｑを通る直線と垂直であり、
この直線は共有点全体がなす円の中心を通る。
Ｋ１の中心Ｐから平面（３）（円の中心）までの距離は、距離の公式より
｜（ｂ－ａ）×ａ－２（ｂ－ａ）×２ｂ＋２（ｂ－ａ）×２ａ｜／３（ｂ－ａ）
＝(1/3)｜５ａ－４ｂ｜……（４）
共有点全体がなす円の半径ｒとすると、三平方の定理より
ｒ^2＝（Ｋ１の半径）^2－（４）^2
＝ａ^2－(1/9)（５ａ－４ｂ）^2
＝(-8/9)（２ａ^2－５ａｂ＋２ｂ^2）
共有点全体が円をなすためには、
ｒ^2＝(-8/9)（２ａ^2－５ａｂ＋２ｂ^2）＞０であれば良いから、
（２ａ^2－５ａｂ＋２ｂ^2）
＝（２ａ－ｂ）（ａ－２ｂ）＜０
２ａ－ｂ＞０，ａ－２ｂ＜０　または　２ａ－ｂ＜０，ａ－２ｂ＞０
２つめから、
ａ＜(1/2)ｂ，ａ＞２ｂより、２ｂ＜ａ＜(1/2)ｂとなり
０＜ａ＜ｂと矛盾するから、
よって、
ａ，ｂについての条件は、２ａ－ｂ＞０，ａ－２ｂ＜０より、
(1/2)ａ＜ｂ＜２ａ　……（イ）
（ア）（イ）の共通部分は、ａ＜ｂ＜２ａ

＞その円の中心をＲとした場合、点Ｒの座標を求めよ。
円の中心は、平面（３）と球の中心Ｐ，Ｑを通る直線の交点
（直線ＰＱは円の中心を通るから）
直線ＰＱの式
（ｘ－ａ）／（ｂ－ａ）＝（ｙ－２ｂ）／－２（ｂ－ａ）＝（ｚ－２ｂ）／２（ｂ－ａ）＝ｔとおくと、
ｘ＝ａ＋（ｂ－ａ）ｔ，ｙ＝２ｂ－２（ｂ－ａ）ｔ，ｚ＝２ａ＋２（ｂ－ａ）ｔ　……（５）
（３）に代入して、
（ｂ－ａ）｛ａ＋（ｂ－ａ）ｔ｝－２（ｂ－ａ）｛２ｂ－２（ｂ－ａ）ｔ｝
　＋２（ｂ－ａ）｛２ａ＋２（ｂ－ａ）ｔ｝＝０
整理すると、
９（ｂ－ａ）^2ｔ^2＝（ｂ－ａ）（４ｂ－５ａ）より、
ｔ＝（４ｂ－５ａ）／９（ｂ－ａ）
（５）に代入して、
ｘ＝(4/9)（ａ＋ｂ），ｙ＝(10/9)（ａ＋ｂ），ｚ＝(8/9)（ａ＋ｂ）
がＲの座標です。

どうでしょうか？計算は自分で確かめて下さい。
図を描いて考えてみて下さい。（違ってたら教えて下さい。）

回答No.1

gohtraw

中心の座標があたえられているのだから、半径はすぐ判りますね。
Ｋ１の半径はａ、Ｋ２の半径はｂです。また、中心間の距離をｄとすると
ｄ＾２＝（ａ－ｂ）＾２＋（２ｂ－２ａ）＾２＋（２ａー２ｂ）＾２
これを整理してｄを求めて下さい。

ｄ＜＝ｒ１＋ｒ２、かつｒ２－ｒ１＜＝ｄのときＫ１とＫ２は共有点を持つのではないかと。大きさの異なる二つの円（Ｋ１とＫ２の断面と思って下さい）を色々動かしてみると判ると思います。二つの円が接するとき、Ｋ１とＫ２は一転で接し、二つの円が二点で交わるときＫ１とＫ２の共有点全体は円になります。上記の不等式の等号成立はＫ１とＫ２が一点で接するときです。