ベクトルの問題です。

質問

３点A(2,0,0)B(0,-2,0)C(0,0,4)について
(1)四面体O-ABCの内接球Tの方程式を求めよ。
(2)四面体O-ABCの外接球Sの球面と３点ABCで定まる平面αが交わってできる円Kの面積を求めよ。
(3)円Kを含み、半径5/2の球の方程式を求めよ。

ベクトルがとても苦手なため、詳しい説明をつけてくださるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi

ベクトルの問題というよりは、空間図形の問題ですね。
焦らずに考えると、意外とあっさりとできてしまう類の問題です。

(1)四面体の4つの面のうち、3つはxy平面(z=0)、yz平面(x=0)、zx平面(y=0)になります。
これらの3つの面からの距離が等しくなるので、球の中心座標は半径：rを用いて簡単に表すことができます。
その中心と平面αとの距離が rに等しくなることを条件として rを求めます。

(2)一見、手ごわそうですが、図を描いてよく見るとあっさりです。
外接球は、四面体の4点と接しています。ということは、三角形ABCの各点とも接しています。
円Kは、この三角形と同じ平面内(α)にあります。
平面α上で、この様子を見ると「円Kは、三角形ABCの○○○」になっているとわかります。
ここまでくれば、外接球の半径はわからなくとも、円Kの半径は求まってしまいます。

(3)まず、円Kの中心座標を求めます。
あとは、ピタゴラスの定理を用いることで、求める円の中心座標が求められます。
(この中心座標はある直線上にあるという条件もおく必要があります。)

考え方だけですので、もしかするともっといい方法があるかもしれません。
がんばってください。