トレミーの定理の一般化（不等式）＝オイラーの定理？

質問

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（一般の）四角形ABCDに対して、
AB・CD＋AD・BC ≧ AC・BD　が成り立つという定理のことを
ここ（↓）では、
http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf
オイラーの定理と言っています（P.2）

ところが、
こちら（↓）では、
http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm
最後にあるおまけのところ(3)で
「円周上の点をそのまま直線上に射影すると、・・・のようになり、
のようになり、これでもAB・CD＋BC・DA＝AC・BDが成り立ちます。
これをオイラーの定理というようです。」と言っています。

オイラーの定理にいろいろあるのは分かりますが（多面体定理など）、
同じトレミーの定理のところで２種類出てきているようでよくわかりません。

どういうことなのか、わかる方がいたら教えて下さい。

回答No.1

noname#158987

＞AB・CD＋AD・BC ≧ AC・BD　が成り立つという定理のことを
＞ここ（↓）では、
＞http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf
＞オイラーの定理と言っています（P.2）

言ってないと思いますよ。
それは、トレミーの定理から円に内接していない四角形に対して
そういう不等式の関係が導かれるといっているだけです。
１つめのリンク先の２ページ目のＱＥＤ前と後で話が切れていることに気づけば、
質問者さんの解釈のようにはならないと思います。
１つ目のリンク先の５ページ目まで読めば、
２つ目のリンク先と同じ式が出てきてますよ。

補足

そうですね。たしかにP.5に出てくる式が別のリンクの式ですね。
ということで矛盾自体はなくなりました。

ありがとうございます。

しかしながら、
＞オイラーの定理と言っています（P.2）
の部分は合っているのではないでしょうか。

根拠１：P5で出てくるときも、「(*)の式もオイラーの定理という」というように、”も”がついています。従ってここまで他にオイラーの定理が出てきていることをこれは示しているはずです。

根拠２：P3で複素数による証明をする直前に、
「その解析幾何の一手法である複素数平面に図形をおくことで，次に，オイラーの定理を証明してみよう」っと言ってます。
以下の証明がとてもP5で出てくる式の証明には思えませんが。
トレミーの式に不等号が付いた一般の式のことを以下証明しているので、やはりこの不等式のことをオイラーの定理と言っていると思うのですが、いかがです？

もう一度読みましたが、回答者様のようには理解出来ないです。

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一番この質問でお聞きしたいのは、「オイラーの定理」でWikiに載っていない定義が2つも（回答者様の理解では1つですが）出てくることになるのですが、
（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86）
これはどの位一般的なものなのかということです。

数学を専門にしている方から見れば、（Wikiのオイラーの定理の中にはないけれど）どちらもオイラーの定理ということは常識的なことなのか、それとも違うのか、、、そこらへんのことが知りたいんですけど、、、