- ベストアンサー
トレミーの定理について
トレミーの定理とは、 四角形ABCDが円に内接すれば、 AB*CD+AD*BC=AC*BD が成り立つ。 というものです。 これは、逆、つまり 四角形ABCDにおいて、AB*CD+AD*BC=AC*BDが、 成り立てば、四角形ABCDは円に内接する。 も成り立つと思いますが、これの証明を教えて頂けませんか。 四角形の内部に点Eをとり、三角形の相似と方べきの定理を利用しようと思ったのですが・・ 上手くいきませんでした(>_<)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
点A,B,C,Dをそれぞれ複素数α,β,γ,δで表すことにします。 AB×CD+AD×BC =|α-β||γ-δ|+|α-δ||β-γ| =|(α-β)(γ-δ)|+|(α-δ)(β-γ)| ≧|(α-β)(γ-δ)+(α-δ)(β-γ)|(三角不等式) =|(α-γ)(β-δ)| =|α-γ||β-δ| =AC×BD となります。 三角不等式の部分の等号成立条件は arg((α-β)(γ-δ)/(α-δ)(β-γ))=0 ですから この式を arg((α-β)(γ-δ)/(α-δ)(β-γ))=0 ⇔arg((α-β)/(α-δ))=arg((β-γ)/(γ-δ)) ⇔∠BAC=∠BDC ⇔ABCDが同一円周上 と変形して題意が証明できます。
関連するQ&A
- トレミーの定理の一般化(不等式)=オイラーの定理?
----- (一般の)四角形ABCDに対して、 AB・CD+AD・BC ≧ AC・BD が成り立つという定理のことを ここ(↓)では、 http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf オイラーの定理と言っています(P.2) ところが、 こちら(↓)では、 http://homepage3.nifty.com/sugaku/toremi.htm 最後にあるおまけのところ(3)で 「円周上の点をそのまま直線上に射影すると、・・・のようになり、 のようになり、これでもAB・CD+BC・DA=AC・BDが成り立ちます。 これをオイラーの定理というようです。」と言っています。 オイラーの定理にいろいろあるのは分かりますが(多面体定理など)、 同じトレミーの定理のところで2種類出てきているようでよくわかりません。 どういうことなのか、わかる方がいたら教えて下さい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 平面図形の問題です。
正七角形の一辺の長さをa、 等しくない2本の対角線の長さをb,cとする時、 1/aをb,cを用いて表せ。 ただし、トレミーの定理(四角形ABCDが円に内接する時、 AB×CD+AD×BC=AC×BDが成り立つ)を用いてよい。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学I 三角比の問題
基本的な問題ばかりですが回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。 1.△ABCの外接円をOとする。円Oの点Aでの接線をlとし、l上の点DをBDとACが平行になるようにとる。さらに AB=3 , AC=4 , AD=15/4とする。 (1)△ABCと△BDAが相似になることを示せ。 (2)BCを求めよ。 (3)円Oの半径を求めよ 2.四角形ABCDは∠D=120°, AB=BC=CA=3を満たす。対角線AC,BDの交点をPとする。 (1)この四角形は円に内接することを示せ。 (2)∠ADBを求めよ。 (3)PB:PD=2のとき、PAを求めよ。 3.△ABCでABの中点をD、ACの中点をEとし、BEとCDの交点をGとする。次のことを証明せよ。 (1)△ABCと△ADEは相似 (2)△DEGと△CBGは相似 (3)BG:GE=2:1 4.△ABCでAB上に点Dがあり、AD=AC=BC=1 , BD=CDとする。 (1)△ABCと△BCDが相似なことを証明せよ。 (2) x = BDを求めよ。 5.△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。また、Cを通るABに平行な直線と∠Aの二等分線との交点をEとする。 (1)△ABDと△ECDが相似なことを証明せよ。 (2)AB:BD=AC:CDを証明せよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形と計量
解答がなく困ってます。どなたか添削お願いしますm(_ _)m 円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=4、BC=3、CD=1、∠ABC=60゜のとき、次の値を求めなさい。 1.ACの長さ 2.∠ADC=θとおくとき、cosθ 3.ADの長さ 4.円の半径 5.四角形ABCDね面積 *自己解答* 1.余弦定理より AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*cosB→AC=√13 2.円に内接する四角形なので、∠ABC+∠ADC=180゜→∠ABC=60゜→∠ADC=120゜となる。よってcos120゜=-1/2 3.余弦定理より AC^2=CD^2+AD^2-2*CD*AD*cos120゜→AD=-4,3→AD≧1なので AD=3 4.正弦定理より AC/sin60゜=2r(外接円の半径rとする)→r=√13/√3 5.四角形ABCDの面積=△ABC+△ADCである。 【△ABC=1/2*AB*BC*sin60゜】+【△ADC=1/2*AD*DC*sin120゜】={15√3}/4 社会人になってからの勉強です。 間違いがありましたら 解説と併せてよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 余弦定理を用いた問題
こんばんは。いつもお世話になっております。 問題集を解いていてどうしてもわからない問題があるので、解き方・考え方を教えてください。 問題1) 四角形ABCDが、半径64/8の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、辺BC=辺CD=13であるとき、残りの2辺ABとDAの長さを求めよ。 自分なりに考えてみたのですが、ABとDAに関する方程式を2つ立てて連立させるのかと思ったのですが、AB+DA=18しか思いつきません。半径64/8の円に内接していることから、正弦定理を使おうと思っても角の大きさが一つも分かっていないため使うことができません。。 問題2)四角形ABCD(問題1とは別)において、BC=2,CD=3,∠DAB=60度(π/3),∠ABC=∠CDA=90度(π/2)とする。このとき、辺AB,辺DAの長さを求めよ。 この問題は、対角線ACを引き、2つできる直角三角形について三平方の定理でAC^2=の形にして、2つを連立させて整理すると、AD^2=AB^2+1という式が出てくるのですが、この式を解くにはもうひとつ式が必要です。どうやって出せばいいのでしょうか? 両方ともおそらく余弦定理や正弦定理を使うのかと思うのですが、どちらも適用できません。。もう2時間近く粘っていますがいっこうに解けません。どうかお力をお貸しください。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
おお、複素数を使うとは、予想外でした。 細かく、証明していただきありがとうございます! 大変参考になりました!
補足
また、他の証明法があれば、宜しかったら教えて下さいね!