トレミーの定理の複素数による証明について

質問

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http://izumi-math.jp/F_Nakamura/tolemy/tolemy.pdf

こちらの PDF　で、トレミーの定理の一般の場合（不等式の場合）の
証明がされておりますが、わからない点があるので教えて下さい。

Page ４ の上から、3行目の「ゆえに」の後の式、

arg((β-α)/(δ-α)) + arg((δ-γ)/(β-γ)) = (2n + 1) x 180°

がわかりません。
特にこの右辺はどこからでてきているのでしょうか。
わかりやすく解説していただけると助かります。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

151A48

証明としては，円に内接する四角形より，∠ＢＡＤ＋∠ＤＣＢ＝１８０°からはじめてくれた方が分かりやすいのに，と思いますが・・・。以下のように組み立て直してみたらどうでしょう。　

arg(β-α)/(δ-α) +arg(δ-γ)/(β-γ) =π
arg{(β-α)/(δ-α)}・{(δ-γ)/(β-γ)}=π
{(β-α)/(δ-α)}・{(δ-γ)/(β-γ)}=-k (kは正の実数：偏角180°だから）
これを少し変形して
(α-β)(γ-δ)=k(α-δ)(β-γ)・・・＊
本題に入って
AB・CD+AD・BC=|α-β||γ-δ|+|α-δ||β-γ|=|(α-β)(γ-δ)|+|(α-δ)(β-γ)|
ここで一般には　|(α-β)(γ-δ)|+|(α-δ)(β-γ)|≧|(α-β)(γ-δ)+(α-δ)(β-γ)|
ですが＊はベクトルが同じ方向を向いていることを表しているので，≧は＝になり，
=|(α-β)(γ-δ)|+|(α-δ)(β-γ)|=|(α-β)(γ-δ)+(α-δ)(β-γ)|
=|(α-γ)(β-δ)| ：ここは計算だけ
=|α-γ||β-δ|
=AC・BD

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

質問の箇所では、
AB・CD＋AD・BC ≧ AC・BD という（円に内接するしないに関わらず成立する）式の証明をしていて、その等号成立の条件を調べているわけですので、ご回答のように、∠ＢＡＤ＋∠ＤＣＢ＝１８０°からはじめるというわけにはいかないのではないかと思います。∠ＢＡＤ＋∠ＤＣＢ＝１８０°のときに成立することはわかるのですが、これで全部かはわからないのではないでしょうか。

でもおかげ様で少し分かって来ました。
こういう理解でどうでしょうか。
以下、検証していただければ幸いです。

Page 4の 一行目で、Z1/Z2 > 0 となっていますが、
この時点で、要は、Z1/Z2 = k（正の実数） になるということが言いたくて、次の行で変形した結果は -k になる。
で、複素数の掛け算をして、それが -k と負の実数になっているので、偏角を考えると（掛け算は足し算になるので）偏角の足し算結果が、-180 x (2n+1) になる。（また、こうなるしかない、と言えます）

上の考えであってますでしょうか。
当たり前のような気がだんだんしてきたのですが、、、