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三角比の不等式について

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0≦sinθ≦1、-1≦cosθ<1
のとき
-1≦sinθ-cosθ
なのですがなぜこうなるのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3

ベストアンサー率 48% (144/295)

-1≦cosθ<1 は-1≦cosθ≦1 でないとおかしいですね。だって,sinθ が0になっているのですから,そのときcosθ=1ですから。
0≦sinθ≦1 , -1≦-cosθ≦1 を辺々足して -1≦sinθ-cosθ≦2 となり,-1≦sinθ-cosθはでます。
数学Iの範囲ならこれでよいのですが,右の2は実は過大な評価です。もし2年生でしたら
三角関数の合成をして,sinθ-cosθ=√2・sin(θ-π/4)
0≦sinθ≦1 , -1≦cosθ≦1 より 0≦θ≦πですから,-π/4 ≦θ-π/4≦3π/4 で
-1≦sinθ-cosθ≦√2 のように評価するのが正しいです。
お礼コメント
noname#150695

問題の条件で0゜<θ≦180゜となっていて、180゜のときsinθ=1ですがcosθ=-1で0゜が入らないのでcosθ=1にはなりえないみたいです

深いところまでありがとうございます!
投稿日時 - 2012-03-03 17:02:00
感謝経済

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  • 回答No.2

ベストアンサー率 50% (746/1464)

-1<-cosθだから
-1<sinθ-cosθでは?
お礼コメント
noname#150695

そうでした ありがとうございます!
投稿日時 - 2012-03-03 16:57:46
  • 回答No.1

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

0≦sinθ≦1 ...(1)

-1≦cosθ<1 ...(2)

(2)に-1を掛けると不等号の向きが変わるから

1≧-cosθ>-1

不等式の項を左右交換すると

-1<-cosθ≦1 ...(3)

(1)+(3)をすると

-1<sinθ-cosθ<2

となりませんか?
加える際、≦と<の式を加えると<の式になります。


1<3
1≦1
加えて
1+1=2<3+1=4
つまり
 2<4
と加えた後の不等号から=がなくなります。

なお、sinθ-cosθは

=√2sin(θ-(π/4))

と変形できるので

-√2≦sinθ-cosθ≦√2
となるから

右辺の方は2ではなくて

 sinθ-cosθ≦√2

となるね。
お礼コメント
noname#150695

なるほど ありがとうございます
投稿日時 - 2012-03-03 16:57:28
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